Hi-Lo Kartenspiel-Odds und Hausvorteil nach Rang — exakte Wahrscheinlichkeiten für die nächste Karte, was jeder Button zahlt, und warum die sichere Seite am meisten kostet

Was die Engine wirklich austeilt

Hi-Lo stellt eine Frage auf dreizehn Arten. Eine Karte liegt auf dem Tisch; die nächste Karte wird höher oder niedriger sein; man ruft es, und ein richtiger Call vervielfacht den Pot und stellt einem dieselbe Frage zu einer neuen Karte. Es gibt keinen Schlitten zu verfolgen, keine Dritte-Karte-Regel, keinen Dealer. Das macht es zu einem der wenigen Casinospiele, deren gesamte Preisliste auf eine einzige Seite passt — und eines der wenigen, bei denen das Lesen des Codes ändert, was man über die Bedeutung der Buttons denkt.

ENGINE-VERIFIZIERThilo/hiloApi.ts:32 — der Rang einer Karte ist `Math.floor(rng() * 13) + 1`, einer von dreizehn gleich wahrscheinlichen Rängen. Eine Farbe wird ebenfalls gezogen (hiloApi.ts:30–34), aber kein Abrechnungscode liest sie jemals: die Gewinnmengen in hiloWinSet() (hiloApi.ts:122–142) sind Mengen von Rängen. Paare, Flushes und Sequenzen existieren in diesem Spiel nicht.

Die Ränge gehen von Ass niedrig bis König hoch, eins bis dreizehn. Da jede Karte ein unabhängiger gleichverteilter Zug ist, ändert nichts, was bereits ausgeteilt wurde, was als Nächstes kommt — kein Rang ist „aufgebraucht“, und eine Reihe von fünf niedrigen Karten macht eine hohe nicht fälliger. Der Verlaufsstreifen oben auf dem Board ist eine Aufzeichnung, keine Prognose.

ENGINE-VERIFIZIERThilo/hiloApi.ts:122–142, hiloWinSet(): bei einem mittleren Rang r gewinnt „Höher oder gleich“ bei den Rängen r bis 13 und „Niedriger oder gleich“ bei den Rängen 1 bis r — der aktuelle Rang ist in beiden Mengen enthalten. Bei einem König werden die beiden Buttons zu „Gleich“ (nur Rang 13) und „Niedriger oder gleich“ (1–12); bei einem Ass zu „Höher oder gleich“ (2–13) und „Gleich“ (nur Rang 1). hiloOdds() (hiloApi.ts:70–91) bepreist jeden Button mit 1 ÷ seiner Wahrscheinlichkeit, was genau 13 ÷ (Größe der Gewinnmenge) ergibt.

Dieser geteilte Rang ist das Erste, was auffällt. Bei jeder Karte von 2 bis Dame decken die beiden Buttons zusammen vierzehn der dreizehn Ränge ab — 107,69% — weil ein Unentschieden für die jeweils gewählte Seite zahlt. Das Haus behält hier keine Pushes, und es muss es auch nicht: Der Preis beider Buttons wird so festgelegt, als würde das Unentschieden einem selbst gehören, und der Vorteil wird ganz woanders genommen.

Jeder Call, bepreist

Es gibt in Hi-Lo nur zwölf unterschiedliche Calls, nicht sechsundzwanzig. Ein Button wird vollständig dadurch definiert, wie viele der dreizehn Ränge ihn gewinnen lassen, und jeder Button auf dem Board ist eine der zwölf untenstehenden Größen.

Die zwölf unterschiedlichen Calls: Wahrscheinlichkeit, faire Quote und was der Button anzeigt

Chance ist die Größe des Gewinn-Sets über 13. Faire Quote ist 13 ÷ Größe des Gewinn-Sets, der Wert, den hiloOdds() zurückgibt. Gezeigt wird dieser Wert nach der Zwei-Dezimalstellen-Abrundung der Engine. Die fünfte Spalte ist der Anteil eines Einsatzes, den allein die Abrundung bei diesem Call einbehält, vor jeglichem konfigurierten Hausvorteil.

Fünf der zwölf Calls teilen sich glatt durch 13 und verlieren nichts an Rundung: die ×13.00, ×6.50, ×3.25, ×2.60 und ×1.30. Die übrigen sind periodische Dezimalzahlen, die abgeschnitten statt gerundet werden, und der Schnitt begünstigt immer das Haus — ein Floor, niemals ein Nearest. Der größte einzelne Biss betrifft die 7, die einzige Karte, bei der beide Buttons denselben Call darstellen: ×1.8571 wird zu ×1.85, und 0,3846% des Einsatzes verschwinden in der dritten Nachkommastelle.

Der Floor ist keine Schlamperei. Eine Auszahlung muss eine Zahl sein, die das Ledger exakt halten und der Verifier Bit für Bit reproduzieren kann, also rundet die Engine einmal, in eine Richtung, an einer festen Stelle — dieselbe Disziplin, die in eine Rundung, nicht viele beschrieben wird. Die Kosten dieser Entscheidung sind klein, aber real, und sie gehören in die Preisliste.

Zwei Floors, ein Edge

Ein Hi-Lo-Lauf zahlt nicht pro Call aus. Er akkumuliert. Jeder korrekte Call multipliziert ein laufendes Produkt mit der gespeicherten Quote dieses Calls, und die Auszahlung, die du einstreichen kannst, ist das Produkt mit dem angewendeten Hausanteil — ein Abzug, der einmal für den gesamten Lauf erfolgt, nicht einmal pro Call.

ENGINE-VERIFIZIERThilo/hiloApi.ts:202–203 — `product *= floor2(13 / winSet.size)` bei jedem gewonnenen Call, dann `multiplier = floor2(product * ctx.rtp)`. floor2 ist `Math.floor(x * 100 + 1e-9) / 100` (_shared/serverMath.ts:12–14). Der Kommentar bei hiloApi.ts:56–59 vermerkt, dass dies die BigDecimal-Arithmetik des Backends widerspiegelt: Die faire Quote jedes gewonnenen Schritts wird auf zwei Dezimalstellen abgerundet gespeichert, und der Lauf-Multiplikator ist das Produkt der gespeicherten Schritte mal eins minus dem Hausvorteil, wieder auf zwei Dezimalstellen abgerundet.

Es gibt also zwei Floors, nicht einen: den Pro-Call-Floor in der obigen Tabelle und einen zweiten Floor auf den fertigen Multiplikator. Beide runden ab. Der Hausvorteil selbst ist Konfiguration, kein Code — er kommt mit dem Detail-Datensatz des Spiels, und der Client fällt auf einen Wert von 1% zurück, falls dieser Aufruf fehlschlägt.

ENGINE-VERIFIZIERT_shared/coinGame.ts:111 — die Rückgabe pro Spiel ist `1 − rtpRes.body.rtp` aus der /getGameDetail-Antwort, mit `0.99` als Fallback des Clients (_shared/coinGame.ts:92). Das durchgerechnete Beispiel im Hi-Lo-Quellcode (hiloApi.ts:63–64) verwendet 0,985. Beide sind unten bepreist; die obigen Wahrscheinlichkeiten gelten bei jeder Einstellung.

Ein Call, dann auszahlen lassen: was jeder Button tatsächlich zurückgibt

Der House Edge ist der erwartete Verlust als Anteil des Einsatzes für einen Durchlauf mit genau einem richtigen Call gefolgt von einem Cash-out: 1 − Chance × Auszahlung. Die Auszahlungsspalte ist floor2(floor2(13 ÷ k) × 0.99), die Zahl, die der Button selbst beim ersten Call eines Durchlaufs anzeigt.

Die Button-Legende lohnt sich deshalb genau zu lesen. Beim ersten Call eines Durchlaufs greift der einmalige Abzug pro Durchlauf im selben Zug, sodass die Anzeige fällt — das erwartete ×1.08 liest sich als ×1.06. Ab dem zweiten Call wurde das Produkt bereits gekürzt, und derselbe Button zeigt wieder ×1.08. An deinen Chancen hat sich nichts geändert; du siehst nur zwei verschiedene Stadien derselben Rechnung.

Und hier kommt das Ergebnis, das niemand erwartet. Ein konfigurierter Edge von 1% ist ein Zielwert, kein tatsächliches Ergebnis. Da die Floors am stärksten bei den Calls zuschlagen, deren faire Odds die hässlichsten Nachkommastellen haben, reicht der reale Preis eines einzelnen Calls von 1,00% bis 2,15% — der Anteil des Hauses beim nahezu sicheren ×1.06 ist mehr als doppelt so hoch wie bei der ×12.87-Außenseiterwette. Der sicherste Button auf dem Board ist der teuerste, den man drücken kann.

Welche Seite kostet weniger, Karte für Karte

Jede Karte stellt dir zwei Preise gegenüber, und sie sind fast nie gleich. Das ist die gesamte Tabelle, bei einer 1%-Einstellung, für einen einzelnen Call gefolgt von einem Cash-out.

Hausvorteil jedes Buttons nach der Karte auf dem Tisch, 1%-Einstellung, ein Call

Angezeigte Quote · Chance · Hausvorteil bei einem Call und einem Cash-out. Bei einer Einstellung von 1,5 % verschwinden die beiden Ausnahmen: Die unwahrscheinlichere Seite ist nie die teurere, auch wenn bei einer 4, 6, 7, 8 und 10 beide Seiten dann genau gleich viel kosten.

Das Muster ist, dass die unwahrscheinlichere Seite fast immer die günstigere ist, was den Instinkt umkehrt, den das Spiel fördert. Zwei Karten brechen die Regel. Bei einer 6 und bei einer 8 ist die wahrscheinlichere Seite günstiger, und das ohne jeden Grund im Design des Spiels. Beide Calls geben auf der ersten Ebene denselben Betrag von 0,3077 % auf; es ist die zweite Ebene, beim fertigen Multiplikator, die sie unterscheidet — ×2,16 landet bei einem 1%-Abzug auf 2,1384 und wird auf ×2,13 abgeschnitten, was 0,3928 % kostet, während ×1,62 auf 1,6038 landet und auf ×1,60 abgeschnitten wird, was 0,2369 % kostet. Bei einer 7 stellt sich die Frage nicht, da beide Buttons derselbe Call sind.

Durchschnittliche Kosten eines Calls bei einer gleichverteilt zufälligen Karte

Gemittelt über die dreizehn gleich wahrscheinlichen Karten. Die Spanne zwischen der ersten und letzten Zeile — etwa 0,57 Punkte bei einer 1%-Einstellung — ist der gesamte Effekt der Schaltflächenwahl auf einen einzelnen Call.

Keine dieser Zeilen ist eine positive Zahl für den Spieler, und das ist der Punkt. Eine gute Wahl bei Hi-Lo dreht das Spiel nicht um; sie verschiebt die Kosten zwischen etwa 1,2% und etwa 1,8% des gesamten Einsatzes. Der Unterschied ist real und es lohnt sich, ihn zu kennen. Er ist jedoch kleiner als der Unterschied, den der nächste Abschnitt beschreibt.

Was das Reiten der Leiter kostet

Die Cash-out-Entscheidung ist das eigentliche Spiel, und genau hier dreht sich die Arithmetik. Jeder zusätzliche Call multipliziert das Produkt mit einer abgerundeten Zahl, sodass jeder zusätzliche Call einen weiteren kleinen Abzug hinzufügt. Der konfigurierte Hausvorteil wird einmal berechnet; die Rundung wird immer wieder berechnet.

Zehn Karten, immer der ×1.08-Button, am Ende auszahlen — 1%-Einstellung

Ein Lauf, komplett auf dem 92,31%-Button gespielt. Der „faire Multiplikator“ ist (13 ÷ 12) hoch der Anzahl der Calls — das, was derselbe Lauf ohne Floors und ohne konfigurierten Edge auszahlen würde. Die Zehn-Call-Zeile wurde gegen dreißig Millionen simulierte Läufe der eigenen Demo-Schleife der Engine gegengeprüft.

Den Einsatz auf dem sicheren Button zu verdoppeln erfordert zehn richtige Calls und passiert etwas seltener als in der Hälfte der Fälle, und bis dahin ist der Hausanteil von 2,15% auf 4,33% gestiegen. ×100 zu erreichen erfordert sechzig aufeinanderfolgende richtige Calls, passiert ungefähr einmal in 122 Versuchen und kostet 17,72% von allem Eingesetzten. Die Quoten potenzieren sich ehrlich, je höher der Multiplikator steigt; die Rundungen potenzieren sich ebenfalls.

Derselbe Anstieg auf dem ×1,85-Button (eine 7, beide Seiten) — 1%-Einstellung

Zehn richtige Vorhersagen bei annähernd ausgeglichenen Chancen entsprechen etwa einem Versuch in 488.

Beide Tabellen sagen dasselbe in unterschiedlichen Währungen. Eine lange Serie ist kein günstigerer Weg, um eine große Zahl zu erreichen, als eine kurze mit langen Chancen – sie ist ein teurerer Weg, weil das Haus bei jeder Sprosse einen Anteil nimmt. Die einzige Ausnahme ist der ×13.00 „Same“-Call: bei einer 1%-Einstellung ist er auf zwei Dezimalstellen exakt, daher übersteht er beliebig viele Wiederholungen bei genau dem konfigurierten Edge und nicht mehr. Er trifft auch zu 7,69% der Fälle ein.

Überspringen, und was es nicht bewirkt

Hi-Lo hat einen dritten Button. Während eine Serie läuft, kannst du die Karte auf dem Tisch überspringen und eine andere ziehen, ohne sie zu callen – der Pot bleibt bestehen, der Multiplikator bleibt bestehen, und nichts wird riskiert.

ENGINE-VERIFIZIERThilo/hiloGame.tsx:376–377 — der „Skip this card“-Button wird während der gesamten laufenden Serie angezeigt, und hiloApi.ts:193–196 zeigt, was er bewirkt: eine neue Karte wird gezogen, der Pass wird gezählt, und Multiplikator, Gewinnzahl und Guthaben werden unverändert zurückgegeben. Eine übersprungene Karte kann die Serie nicht verlieren lassen.

Es ist wirklich kostenlos, und es ist auch wirklich begrenzt in dem, was es bewirkt. Überspringen verbessert keinen Call – es ersetzt eine Karte durch eine andere, die aus denselben dreizehn gezogen wird, sodass die angebotene Preisliste dieselbe Preisliste bleibt. Was es dir ermöglicht, ist, auf eine Karte zu warten, deren günstigeren Button du bevorzugst, was deine Kosten irgendwo zwischen den 1,00% eines „Same“-Calls auf einen König und den 2,15% des danebenliegenden Buttons verschiebt – und nicht weiter. Es gibt keine Abfolge von Skips, die einen Call in diesem Spiel kostenlos macht.

Auch das Überspringen – oder sonst irgendetwas auf dem Board – ändert nicht, welche Karte als nächstes kommt. Jede Karte ist eine unabhängige Ziehung aus denselben dreizehn Rängen, daher hat die Serie niedriger Karten, die du gerade übersprungen hast, keinen Einfluss auf die kommende. Dieser Instinkt hat einen Namen und eine lange Geschichte: der Spielerfehlschluss.

Die ehrliche Zusammenfassung von Hi-Lo ist kurz. Die Wahrscheinlichkeiten sind genau das, was die Buttons andeuten, die Auszahlungen sind der faire Preis, zweimal abgerundet, und die Kosten des Spielens reichen von etwa 1% bei einem einzigen gut gewählten Call bis weit in den zweistelligen Bereich bei einem langen Anstieg, je nachdem, welche Buttons du drückst und wie weit du fährst. Zu wissen, welcher Button was ist, macht das Spiel günstiger. Es macht es nicht kostenlos, und auch noch so viel Lesen der Engine wird daran nichts ändern.

遊Hi-Lo, jeder Call überprüfbar
Dreizehn Ränge, eine Frage, und eine Preisliste, die du mit der Engine abgleichen kannstHilo →

FAQ

Wie stehen die Chancen beim Hi-Lo-Kartenspiel?

Jede Karte wird gleichverteilt aus dreizehn Rängen gezogen. Bei einer Karte des Rangs r gewinnt „Höher oder gleich“ (14 − r) von 13 Malen und „Niedriger oder gleich“ r von 13 Malen – der aktuelle Rang zahlt auf beiden Seiten. Bei einem Ass oder einem König wird ein Button zu „Same“, der 1 von 13 Malen gewinnt. Farben sind für die Abrechnung irrelevant.

Wie hoch ist der House Edge bei Hi-Lo?

Das hängt davon ab, welchen Button du drückst. Bei der Client-Konfiguration von 1% kostet ein Call gefolgt von einem Cash-out 1,00% beim ×12.87 „Same“ und 2,15% bei der ×1.06 Fast-Sicherheit, weil die Engine jede Auszahlung auf zwei Dezimalstellen abrundet und die Abrundung dort am stärksten zuschlägt, wo sich die fairen Chancen wiederholen. Zufälliges Drücken der Buttons ergibt im Durchschnitt 1,52%.

Warum zeigt der Hi-Lo-Button ×1.06 und nicht ×1.08?

Der faire Preis eines 92,31%-Calls ist 13 ÷ 12 = 1,0833, was die Engine als ×1.08 speichert. Beim ersten richtigen Call einer Serie fällt der einmal pro Serie anfallende Hausanteil in denselben Zug, daher zeigt der Button die gekürzte Zahl, ×1.06. Ab dem zweiten Call zeigt derselbe Button ×1.08, weil der Abzug bereits erfolgt ist.

Ist es bei Hi-Lo besser, auf die wahrscheinlichere Seite oder den Außenseiter zu setzen?

Bei einer 1%-Einstellung ist die unwahrscheinlichere Seite bei zehn der dreizehn Karten die günstigere – eine 6 und eine 8 sind die Ausnahmen, und bei einer 7 sind beide Buttons gleich. Der Unterschied beträgt etwa 0,57 Punkte Hausvorteil zwischen immer der günstigeren Seite und immer der wahrscheinlicheren. Keine der beiden Wahlen macht das Spiel vorteilhaft.

Zahlt sich eine längere Hi-Lo-Serie besser aus als frühzeitiges Cashout?

Nein. Jeder richtige Call multipliziert das laufende Produkt mit einem Wert, der auf zwei Dezimalstellen abgerundet wurde, sodass jede zusätzliche Stufe einen weiteren kleinen Abzug hinzufügt. Zehn aufeinanderfolgende ×1,08-Calls erreichen ×2,13 mit einer Chance von 44,91% bei einem Hausvorteil von 4,33%; sechzig erreichen ×100,24 mit einer Chance von 0,82% bei 17,72%.

Hilft es bei Hi-Lo, eine Karte zu überspringen?

Das Überspringen kostet nichts und birgt kein Risiko – eine neue Karte wird ausgeteilt, der Multiplikator und der Pot bleiben bestehen. Aber die Ersatzkarte stammt aus denselben dreizehn Rängen und bietet dieselbe Preisliste, sodass das Überspringen nur erlaubt, welchen Preis man zahlt. Es kann den Hausvorteil bei keinem Call entfernen.

QUELLEN & REFERENZEN

• Betkyo-Engine-Quelle: hiloWinSet() in hilo/hiloApi.ts:122–142 (welche Ränge bei welchem Button gewinnen, Unentschieden zahlen beide Seiten, die „Same“-Buttons bei Ass und König) und hiloOdds() in hilo/hiloApi.ts:70–91 (faire Quote = 13 ÷ Größe der Gewinnmenge)
• Betkyo-Engine-Quelle: gleichverteilter Rang-Zug in hilo/hiloApi.ts:32; Lauf-Akkumulation in hilo/hiloApi.ts:202–203 (Abrundung pro Schritt, dann Abrundung von Produkt × Return); der Backend-Spiegel-Hinweis in hilo/hiloApi.ts:56–59; die Anzeigeregel für den ersten Call in displayStepOdds() bei hilo/hiloApi.ts:65–68; der Skip-Zweig bei hilo/hiloApi.ts:193–196 und dessen Button bei hilo/hiloGame.tsx:376–377
• Betkyo-Engine-Quelle: floor2() in _shared/serverMath.ts:12–14, und der spielspezifische Return-Wert in _shared/coinGame.ts:111 mit dem 0,99-Fallback in _shared/coinGame.ts:92
• Exakte Berechnungen für diesen Artikel: Auflistung aller sechsundzwanzig Buttons gegen die Gewinnmengen der Engine, beide Rundungen in der Reihenfolge der Engine angewendet, Hausvorteile für Einzel- und Mehrfach-Calls bei 1%- und 1,5%-Einstellungen sowie eine Simulation mit dreißig Millionen Läufen der Demo-Schleife als Gegenprobe

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