El sistema y la rueda
El martingale es el sistema de apuestas más antiguo del casino y el más fácil de explicar. Apuesta una unidad en una oportunidad a dinero parejo. Si gana, comienza de nuevo. Si pierde, duplica la apuesta y apuesta de nuevo, y sigue duplicando hasta que llegue una ganancia. Porque cada apuesta es más grande que todas las pérdidas anteriores combinadas, la primera ganancia siempre deja al jugador exactamente una unidad adelante. Se siente menos como un juego de azar que como una recopilación.
ENGINE-VERIFIEDroulette/derive.ts header: “cursor 0 alone decides the pocket: floor(u × 37)” and “ev:red|black|odd|even|low|high even chances ×2 … Single zero — house edge 2.7%.” Each spin is its own nonce, so no spin carries information about the next; an even-money bet wins on 18 of the 37 pockets and loses on the other 19, zero included.
Eso es toda la entrada que el cálculo necesita. Una sola apuesta gana con probabilidad 18/37 y pierde con probabilidad 19/37. Una serie de como máximo n apuestas falla solo si todas las n pierden, lo que sucede con probabilidad (19/37)ⁿ, y cuando falla el jugador ha perdido 1 + 2 + 4 + … + 2ⁿ⁻¹ = 2ⁿ − 1 unidades. Todas las otras series terminan una unidad arriba. Nada de lo siguiente es simulado.
Una serie, con precio
| APUESTAS MÁXIMAS | BANKROLL NECESARIO | SERIE EN QUIEBRA | ESPERANZA DE APOSTADO | RESULTADO ESPERADO |
|---|---|---|---|---|
| 3 | 7 | 1 en 7.4 | 3.08 | −0.08 |
| 5 | 31 | 1 en 28 | 5.28 | −0.14 |
| 7 | 127 | 1 in 106 | 7.59 | −0.21 |
| 10 | 1,023 | 1 in 784 | 11.31 | −0.31 |
| 12 | 4,095 | 1 in 2,974 | 13.95 | −0.38 |
| 14 | 16,383 | 1 in 11,279 | 16.75 | −0.45 |
| 17 | 131,071 | 1 en 83,295 | 21.22 | −0.57 |
Unidades de la apuesta inicial. Una serie gana +1 a menos que todas las apuestas pierdan, en cuyo caso pierde todo el bankroll. El resultado esperado dividido por lo apostado esperado es −2.70% en cada fila.
Lee en cualquier fila y la forma del sistema es evidente. Un martingale más profundo quiebra mucho menos a menudo — diez doblajes fallan una vez en 784 series, diecisiete una vez en 83,295 — y el precio de esa confiabilidad es el bankroll, que se duplica con cada fila, y el tamaño de la pérdida cuando llega. El resultado esperado de una serie empeora, no mejora, a medida que el sistema se vuelve más seguro: −0.31 unidades para diez apuestas, −0.57 para diecisiete. La razón está en las últimas dos columnas. Una serie más profunda apuesta más en promedio, y la rueda se lleva su 1/37 de todo lo apostado.
El álgebra es lo suficientemente corta para mostrar. Una serie gana +1 con probabilidad 1 − (19/37)ⁿ y pierde 2ⁿ − 1 con probabilidad (19/37)ⁿ, por lo que su resultado esperado es 1 − (38/37)ⁿ. Dado que 38/37 es mayor que uno, ese número es negativo para cada n y crece con n. La cantidad esperada apostada en la serie resulta ser 37 × ((38/37)ⁿ − 1). Divide uno por el otro y n se cancela: la serie pierde exactamente un treinta y siete avo de lo que apuesta, sea cual sea su profundidad.
La sesión que generalmente gana
| APUESTAS MÁXIMAS | BANKROLL | OBJETIVO | ALCANZA OBJETIVO | QUIEBRA PRIMERO | RESULTADO ESPERADO | CANTIDAD ESPERADA APOSTADA |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 7 | 127 | +100 | 38.8% | 61.2% | −13.3 | 493 |
| 10 | 1,023 | +100 | 88.0% | 12.0% | −28.7 | 1,062 |
| 10 | 1,023 | +1,000 | 27.9% | 72.1% | −172.8 | 6,393 |
| 17 | 131,071 | +1,000 | 98.8% | 1.2% | −570.2 | 21,096 |
Unidades de la apuesta inicial. La sesión se detiene al alcanzar el objetivo o en la primera serie de pérdidas. El resultado esperado dividido por lo esperado apostado es −2.70% en cada fila.
Por esto es que la martingala tiene admiradores. Un jugador con 1,023 unidades que juega hasta estar 100 arriba se va ganador 88 veces de 100. Un jugador con 131,071 unidades que apunta a 1,000 se va ganador casi 99 veces de 100. Esas son declaraciones verdaderas, y un jugador que ha usado el sistema algunas veces probablemente solo ha visto la rama ganadora.
La columna de resultado esperado es la otra mitad de la misma verdad. Las raras sesiones perdedoras devuelven tanto que la sesión promedio pierde 28.7 unidades en el primer caso y 570 en el segundo. El sistema no reduce la ventaja de la casa; convierte una pérdida pequeña y constante en ganancias pequeñas frecuentes y una pérdida ocasional catastrófica, y la catástrofe es dimensionada precisamente para que el promedio se mantenga en 2.70% de todo lo apostado.
Las rachas no son raras
| RACHA DE PÉRDIDAS | DENTRO DE 100 GIROS | DENTRO DE 1,000 GIROS |
|---|---|---|
| 7 o más | 36.3% | — |
| 10 o más | 5.6% | 46.2% |
| 12 o más | — | 15.0% |
| 17 o más | — | 0.57% |
Exacto, por programación dinámica sobre la longitud de la racha actual. Una pérdida es cualquiera de los 19 bolsillos perdedores, incluyendo el cero.
Diez pérdidas seguidas suena como algo que haría noticia. En más de mil giros — una noche larga en una mesa rápida — sucede casi la mitad de las veces. Siete seguidas en cien giros es mejor que una probabilidad de uno en tres. La racha que termina una martingala no es un caso atípico que el sistema tenga la mala suerte de encontrar; para cualquier banca que una persona realmente tenga, es el final esperado de una sesión lo suficientemente larga. La famosa racha negra en Monte Carlo en 1913 es la historia que la gente recuerda, pero la aritmética de las rachas dice que las ordinarias son las que importan.
Nada de esto es la falacia del jugador en reversa. La rueda no tiene memoria en ninguna dirección: después de diez pérdidas, el siguiente giro aún gana 18 de 37. Lo que la tabla mide es qué tan a menudo aparecen rachas largas en algún lugar de una sesión, que es una pregunta diferente a lo que hará el siguiente giro — ver la falacia del jugador.
El límite que lo termina
Ni siquiera una banca ilimitada rescataría el sistema, porque las mesas tienen límites. La escalera de duplicación se encuentra con la apuesta máxima mucho antes de llegar al infinito.
VERIFICADO POR EL MOTORdemoContext() en _shared/coinGame.ts establece los límites de la mesa de demostración: minBet 1, maxBet 100000. Empezando desde el mínimo, las apuestas 1, 2, 4 … 65,536 están todas permitidas y 131,072 no lo está, así que una martingala en la mesa de demostración puede hacer como máximo 17 apuestas y necesita 131,071 unidades detrás. Los límites de dinero real provienen de la configuración de la moneda (coinMinBet, coinMaxBet) y difieren según la moneda; la relación entre ellos es lo que establece la profundidad.
En diecisiete apuestas, los números son la última fila de la primera tabla: 131,071 unidades en riesgo para ganar una, un quiebra una vez en 83,295 series, y una pérdida esperada de 0.57 unidades por serie. Un límite de mesa a menudo se describe como la defensa del casino contra la martingala. Es mejor describirlo como un piso bajo la profundidad que el sistema puede alcanzar, y la tabla muestra que la profundidad nunca fue lo que se interpuso entre el jugador y una ganancia.
FAQ
¿Funciona la estrategia de martingala en la ruleta?
Gana cantidades pequeñas a menudo y pierde cantidades grandes raramente, y el promedio es siempre una pérdida. En una rueda de un cero, toda martingala, a cualquier profundidad, pierde exactamente 2.70% del monto total apostado. Con 10 duplicaciones una serie quiebra una vez en aproximadamente 784 series y pierde 0.31 unidades en promedio.
¿Cuánta banca necesita la martingala?
2ⁿ − 1 unidades para sobrevivir n apuestas. Diez apuestas necesitan 1,023 unidades, diecisiete necesitan 131,071. En la mesa de demostración de este motor (mínimo 1, máximo 100,000) diecisiete apuestas es lo máximo que el límite permite.
¿Qué tan probable es una racha perdedora de 10 en la ruleta?
En una apuesta de probabilidad par en una rueda de un cero, una racha de al menos 10 pérdidas aparece en algún lugar en 100 giros el 5.6% de las veces y en algún lugar en 1,000 giros el 46.2% de las veces. El siguiente giro después de tal racha aún gana 18 de 37.
Si una sesión de martingala generalmente termina en ganancia, ¿cómo puede perder en promedio?
Porque las sesiones perdedoras son mucho más grandes. Con 1,023 unidades y un objetivo de +100, el 88.0% de las sesiones alcanzan el objetivo, pero el otro 12.0% pierde la mayor parte de la banca, y el resultado esperado de una sesión es −28.7 unidades.
¿Existe un sistema de apuestas que venza la ventaja de la casa?
Ningún sistema que solo cambie los tamaños de apuesta puede hacerlo. Cada giro es independiente y devuelve 36/37 de su apuesta en promedio, así que cualquier secuencia de apuestas devuelve 36/37 de su total. El cambio de tamaño de apuesta altera la varianza y el riesgo de ruina, no la ventaja.
FUENTES Y REFERENCIAS
- Código del motor Betkyo: roulette/derive.ts (floor(u × 37), probabilidades pares ×2, cero único, ventaja del 2.7%)
- Código del motor Betkyo: demoContext() en _shared/coinGame.ts (demo minBet 1, maxBet 100000); límites de dinero real de coinMinBet y coinMaxBet
- Cálculos exactos escritos para este artículo: probabilidades de quiebra de series y resultados esperados, resultados de sesión por análisis de primer paso, y probabilidades de racha perdedora por programación dinámica sobre longitud de racha
LOS JUEGOS EN ESTE ARTÍCULO