El tablero, el sorteo y la única fórmula
Keno es una lotería con el precio del boleto y la tabla de premios impresos en la misma pantalla. El tablero tiene cuarenta números. Marcas entre uno y diez de ellos. El juego sortea diez bolas, ninguna repetida, y paga según cuántas de tus marcas fueron sorteadas. No hay decisiones después de que comienza el sorteo ni una carta que mantener, lo que significa que todo el juego se reduce a una pregunta con una respuesta exacta: dadas k marcas, ¿qué tan probable es cada número de aciertos?
VERIFICADO POR EL MOTORkeno/kenoGame.tsx: BALLS = 40 y MAX_PICKS = 10; el tablero muestra números del 1 al 40 y rechaza una undécima elección. kenoDraws() en _shared/demoLocal.ts construye un conjunto de 40, luego diez veces seguidas hashea el eslabón de la cadena, toma floor(norm × last), limitado a last − 1, para el tamaño decreciente del conjunto `last = 40 − i`, agrega esa bola y la intercambia fuera del conjunto — diez bolas, sin repeticiones. demoKenoBet() cuenta los aciertos como los números elegidos que están contenidos en el conjunto sorteado y busca el multiplicador como KENO_PAYTABLE[level][picks.length][hits.length].
Diez bolas de cuarenta sin reemplazo es la distribución hipergeométrica, la misma aritmética que un sorteo de lotería. Con k números marcados, la probabilidad de exactamente h aciertos es C(k, h) × C(40 − k, 10 − h) ÷ C(40, 10). El denominador es el número de sorteos distintos de diez bolas, 847,660,528, y cada uno de ellos es igualmente probable. Nada en esa fórmula menciona el nivel de riesgo, y nada en ella menciona qué números elegiste. Cada tabla a continuación es esa fórmula evaluada para cada boleto que el tablero permite, luego verificada cruzando con la repetición del propio bucle de sorteo del motor dos millones de veces.
La tabla: cada número de aciertos para cada número de elecciones
| ELECCIONES | 0 ACIERTOS | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 75.00% | 25.00% | — | — | — | — | — | — | — | — | — |
| 2 | 55.77% | 38.46% | 5.77% | — | — | — | — | — | — | — | — |
| 3 | 41.09% | 44.03% | 13.66% | 1.21% | — | — | — | — | — | — | — |
| 4 | 29.99% | 44.42% | 21.42% | 3.94% | 0.23% | — | — | — | — | — | — |
| 5 | 21.66% | 41.65% | 27.77% | 7.93% | 0.96% | 0.038% | — | — | — | — | — |
| 6 | 15.47% | 37.13% | 32.13% | 12.69% | 2.38% | 0.20% | 0.0055% | — | — | — | — |
| 7 | 10.92% | 31.85% | 34.40% | 17.64% | 4.57% | 0.59% | 0.034% | 0.00064% | — | — | — |
| 8 | 7.61% | 26.47% | 34.74% | 22.24% | 7.48% | 1.33% | 0.12% | 0.0047% | 1 en 1,708,993 | — | — |
| 9 | 5.23% | 21.40% | 33.50% | 26.06% | 10.94% | 2.53% | 0.31% | 0.019% | 0.00049% | 1 entre 27.343.888 | — |
| 10 | 3,54% | 16,88% | 31,07% | 28,82% | 14,71% | 4,24% | 0,68% | 0,057% | 0,0023% | 1 entre 2.825.535 | 1 entre 847.660.528 |
Probabilidades hipergeométricas exactas; cada celda es un conteo entero de combinaciones dividido entre C(40, 10) = 847.660.528. Las celdas por debajo de uno en un millón se muestran como probabilidades. Las filas suman 100%.
Si lees cualquier columna de arriba a abajo, la forma cuenta la misma historia diez veces. Marcar más números desplaza el peso hacia la derecha —más aciertos en promedio—, pero la parte superior de cada fila se adelgaza más rápido de lo que la fila se alarga. Dos aciertos es el resultado más probable para quien marca siete o más números; un acierto para quienes marcan entre tres y seis; y con una o dos marcas, el resultado más probable es no acertar nada.
El número que vale la pena memorizar es el promedio. Se sortean diez de cuarenta números, así que cada marca tiene exactamente una probabilidad de uno entre cuatro de ser acertada, y un boleto con k marcas promedia k ÷ 4 aciertos, sea lo que sea lo demás. Diez marcas promedian 2,5 aciertos; cuatro marcas promedian uno. Las tablas de pagos están todas construidas en torno a ese promedio, y cada una decide qué hacer con el boleto que cae justo en él.
Lo que promete cada cantidad de marcas
| MARCAS | ACIERTOS PROMEDIO | MÁS PROBABLE | SIN ACIERTOS | AL MENOS UNO | TODAS LAS SELECCIONES ACIERTAN |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 0.25 | 0 (75.00%) | 75.00% | 25.00% | 1 en 4 |
| 2 | 0.50 | 0 (55.77%) | 55.77% | 44.23% | 1 en 17.3 |
| 3 | 0.75 | 1 (44.03%) | 41.09% | 58.91% | 1 de 82.3 |
| 4 | 1.00 | 1 (44.42%) | 29.99% | 70.01% | 1 de 435 |
| 5 | 1.25 | 1 (41.65%) | 21.66% | 78.34% | 1 de 2,611 |
| 6 | 1.50 | 1 (37.13%) | 15.47% | 84.53% | 1 de 18,278 |
| 7 | 1.75 | 2 (34.40%) | 10.92% | 89.08% | 1 en 155,363 |
| 8 | 2.00 | 2 (34.74%) | 7.61% | 92.39% | 1 en 1,708,993 |
| 9 | 2.25 | 2 (33.50%) | 5.23% | 94.77% | 1 en 27,343,888 |
| 10 | 2.50 | 2 (31.07%) | 3.54% | 96.46% | 1 en 847,660,528 |
El promedio de aciertos es exactamente los picks ÷ 4. "Al menos uno" es la probabilidad de que el ticket toque el sorteo en absoluto, lo cual no es lo mismo que la probabilidad de que pague — eso depende del nivel, a continuación.
Un ticket de diez picks casi siempre acierta algo: solo uno de cada veintiocho vuelve sin nada. Eso parece un juego generoso, y las tablas de pago son donde esa sensación se corrige. Un ticket de diez picks no paga nada por debajo de dos aciertos en Low, por debajo de tres en Classic y Medium, y por debajo de cuatro en High, y esos conteos de aciertos sin pago son los que la tabla dice que son comunes. Acertar algo y que te paguen por ello son eventos distintos, y esa brecha entre ambos es cómo se ajusta una tabla de keno.
La última columna es la que la gente busca. Un acierto limpio — todos los números marcados salen — es un evento de uno en cuatro con un solo pick y se vuelve astronómicamente raro al llegar a diez. Cada pick adicional multiplica las probabilidades en contra por un factor creciente: el cuarto pick las multiplica aproximadamente por cinco, el décimo las multiplica por treinta y uno. Cinco de cinco ocurre una vez cada 2,611 tickets; ocho de ocho una vez cada 1.7 millones; diez de diez una vez cada 847,660,528. El sorteo no sabe que se le está pidiendo un acierto total, así que ninguna elección de números, nivel o momento cambia ninguna de esas cifras.
Acertarlos todos, y lo que paga el motor por ello
| PICKS | PROBABILIDAD DE ACIERTO TOTAL | MULTIPLICADOR JUSTO | PAGO CLASSIC | LOW | MEDIUM | HIGH |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 en 4 | ×4 | ×3.96 | ×1.85 | ×2.75 | ×3.96 |
| 2 | 1 en 17.3 | ×17.3 | ×4.50 | ×3.80 | ×5.10 | ×17.10 |
| 3 | 1 en 82.3 | ×82.3 | ×10.40 | ×26 | ×50 | ×81.50 |
| 4 | 1 en 435 | ×435 | ×22.50 | ×90 | ×100 | ×259 |
| 5 | 1 en 2,611 | ×2,611 | ×36 | ×300 | ×390 | ×450 |
| 6 | 1 en 18,278 | ×18,278 | ×40 | ×700 | ×710 | ×710 |
| 7 | 1 en 155,363 | ×155,363 | ×60 | ×700 | ×800 | ×800 |
| 8 | 1 en 1,708,993 | ×1,708,993 | ×70 | ×800 | ×900 | ×900 |
| 9 | 1 en 27,343,888 | ×27,343,888 | ×85 | ×1,000 | ×1,000 | ×1,000 |
| 10 | 1 de cada 847,660,528 | ×847,660,528 | ×100 | ×1,000 | ×1,000 | ×1,000 |
El multiplicador justo es 1 ÷ probabilidad — lo que pagaría la celda de acierto total si cargara con todo el retorno ella sola. La diferencia con el multiplicador pagado no es el margen de la casa; es el retorno que la tabla reparte en los conteos de acierto más bajos.
VERIFICADO POR EL MOTORKENO_PAYTABLE en keno/paytable.ts, que refleja las filas TB_KENO_PROB desde las que paga el servidor: la celda superior de cada fila es 3.96, 4.50, 10.40, 22.50, 36, 40, 60, 70, 85 y 100 en CLASSIC; 1.85, 3.80, 26, 90, 300, 700, 700, 800, 1000 y 1000 en LOW; 2.75, 5.10, 50, 100, 390, 710, 800, 900, 1000 y 1000 en MEDIUM; 3.96, 17.10, 81.50, 259, 450, 710, 800, 900, 1000 y 1000 en HIGH. La liquidación de la demo multiplica la apuesta por esa celda y redondea el resultado hacia abajo a centavos.
High con una, dos o tres selecciones es la lectura más clara de esta tabla, porque en esas filas la celda de acierto total es la única que paga. Ahí el multiplicador es todo el retorno: ×3.96 frente a un ×4 justo es 99.00%, ×17.10 frente a ×17.33 es 98.65%, ×81.50 frente a ×82.33 es 98.99%. Eso es el margen de la casa, expresado como un descuento sobre el único premio.
Cualquier otra fila paga el acierto total a una fracción de su precio justo, y la fracción se reduce rápidamente. Cinco de cinco vale ×2,611 en probabilidades justas y paga ×450 en High, porque las celdas de tres y cuatro aciertos de esa fila se pagan con el resto. Para diez selecciones, la celda de ×1,000 se paga a aproximadamente una 850,000ava parte de su valor justo, y su contribución al retorno del ticket es 1,000 ÷ 847,660,528 — 0.00012% de la apuesta. En un ticket de un dólar, el número más grande en la pantalla del keno vale aproximadamente una diezmilésima de centavo. El otro 99% del retorno está en las celdas que la tabla llama ordinarias.
Cuando un ticket supera su apuesta
| SELECCIONES | CLASSIC | LOW | MEDIUM | HIGH |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 25.00% | 25.00% | 25.00% | 25.00% |
| 2 | 44.23% | 44.23% | 44.23% | 5.77% |
| 3 | 14.88% | 58.91% | 14.88% | 1.21% |
| 4 | 25.59% | 25.59% | 25.59% | 4.17% |
| 5 | 36.69% | 36.69% | 36.69% | 8.93% |
| 6 | 15.28% | 47.40% | 15.28% | 2.58% |
| 7 | 22.83% | 57.23% | 22.83% | 5.20% |
| 8 | 31.17% | 65.92% | 31.17% | 8.94% |
| 9 | 39.86% | 39.86% | 39.86% | 13.80% |
| 10 | 48.51% | 79.58% | 48.51% | 19.69% |
Solo cuenta las celdas que pagan más de ×1. Las celdas que devuelven parte o la totalidad de la apuesta —las dos celdas ×1.00 de Classic (tres elecciones con un acierto, seis elecciones con dos), sus celdas ×0.80, ×0.25 y ×0.47, la celda ×0.70 de Low y la ×0.40 de Medium con una elección y ningún acierto— quedan excluidas. Cada cifra es una probabilidad de número de aciertos del gráfico anterior.
| ELECCIONES | CLASSIC | LOW | MEDIUM | HIGH |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 99.00% | 98.75% | 98.75% | 99.00% |
| 2 | 99.04% | 98.85% | 98.65% | 98.65% |
| 3 | 99.02% | 98.87% | 98.99% | 98.99% |
| 4 | 98.96% | 98.92% | 98.78% | 98.91% |
| 5 | 98.99% | 98.90% | 98.94% | 98.89% |
| 6 | 98.97% | 99.01% | 98.83% | 99.00% |
| 7 | 98.98% | 98.94% | 98.96% | 98.96% |
| 8 | 99.02% | 99.00% | 98.92% | 98.96% |
| 9 | 98.98% | 99.07% | 98.94% | 98.96% |
| 10 | 99.04% | 98.76% | 98.97% | 99.01% |
Cada celda de KENO_PAYTABLE multiplicada por su probabilidad de aciertos y sumada. Cuarenta tablas, todas dentro de un rango de 0,42 puntos: la más baja es 98.65% (Medium y High con dos selecciones), la más alta 99.07% (Low con nueve).
Las dos tablas juntas son el producto completo. La primera se mueve en un factor de sesenta y cinco — Low con diez selecciones supera su apuesta en cuatro de cada cinco boletos, High con tres selecciones en uno de cada ochenta y tres — y la segunda apenas se mueve. Nada de lo que puedas elegir en la pantalla de keno cambia el valor de un boleto en más de medio punto. Lo que las selecciones cambian es cómo llega ese valor: como un flujo de retornos pequeños o como uno grande y poco frecuente. Lo que cambia un nivel de riesgo en keno desglosa esa disyuntiva en detalle; el gráfico de arriba es el insumo fijo sobre el que se construye cada una de esas tablas.
Cada boleto es un sorteo nuevo entre las mismas 847,660,528 combinaciones. Un número que no ha salido en una hora tiene exactamente la misma probabilidad que uno que salió tres veces seguidas, y un boleto que falló por uno no está más cerca de acertar la próxima vez — ver la falacia del jugador. El sorteo de demostración compromete una cadena de hashes y una sal antes de que caigan las bolas y las revela después, así que cualquier sorteo individual puede recalcularse a partir del boleto.
Preguntas frecuentes
¿Cuáles son las probabilidades de acertar los 10 números en keno?
Una en 847,660,528 en un tablero de 40 números con 10 bolas sorteadas — eso es C(40, 10), el número de sorteos distintos, y exactamente uno de ellos coincide con un boleto de diez selecciones. En este motor esa celda paga ×1,000 en Low, Medium y High y ×100 en Classic.
¿Cuáles son las probabilidades de acertar 5 de 5 en keno?
Una en 2,611 (0.038%). Cuatro de cinco aciertos ocurre el 0.96% de las veces y tres de cinco el 7.93%. El motor paga cinco de cinco a ×36 en Classic, ×300 en Low, ×390 en Medium y ×450 en High.
¿Cuántos números debería elegir en keno?
El retorno está dentro de medio punto en todas las cantidades de selecciones y niveles (98.65% a 99.07%), así que ninguna cantidad de selecciones ofrece mejor valor. Más selecciones significa más aciertos en promedio — exactamente una cuarta parte de las marcas — pero la tabla exige más aciertos antes de pagar. Menos selecciones significa un boleto más simple que acierta o no.
¿Cuántos números acertaré en promedio?
Una cuarta parte de los números que marcas, porque 10 de los 40 son sorteados. Diez selecciones promedian 2.5 aciertos y caen en exactamente dos el 31.07% de las veces; cuatro selecciones promedian un acierto. Fallar todo va desde 75.00% con una selección hasta 3.54% con diez.
¿Elegir los mismos números en cada partida mejora mis probabilidades?
No. Cada sorteo de diez bolas es igualmente probable e independiente del anterior, así que ningún conjunto de números está "pendiente" ni "frío". Las probabilidades de cualquier cantidad de aciertos dependen solo de cuántos números marcas, y esas probabilidades son el gráfico de este artículo.
¿Vale la pena perseguir el premio de ×1,000 en keno?
Vale el 0,00012% de la apuesta en un ticket de diez números elegidos — ×1.000 multiplicado por una probabilidad de uno en 847.660.528. Casi todo el retorno del 99% del ticket se paga en cantidades de aciertos ordinarias, y en High nada por debajo de cuatro aciertos paga en absoluto.
FUENTES Y REFERENCIAS
- Fuente del motor de Betkyo: BALLS = 40 y MAX_PICKS = 10 en keno/kenoGame.tsx; kenoDraws() y demoKenoBet() en _shared/demoLocal.ts (diez bolas de un conjunto de cuarenta números sin reemplazo, aciertos contados contra el conjunto del sorteo, multiplicador obtenido según el número de elecciones y aciertos, redondeado hacia abajo a centavos)
- Fuente del motor de Betkyo: KENO_PAYTABLE en keno/paytable.ts — las cuarenta tablas de pago, reflejadas de las filas TB_KENO_PROB desde las que paga el servidor
- Cálculos exactos elaborados para este artículo: la distribución hipergeométrica C(k, h) × C(40 − k, 10 − h) ÷ C(40, 10) para cada número de elecciones y aciertos, retornos por tabla y probabilidades de superar la apuesta a partir de esas celdas, y una repetición de dos millones de tickets del sorteo del pool de intercambio del motor como verificación cruzada
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