Una cartilla, 38 bolas
El juego es bingo de 75 bolas jugado solo. El engine reparte una cartilla de 5×5 — cinco números del 1–15 en la columna B, 16–30 en I, y así sucesivamente — marca la celda central como libre, y luego saca 38 de las 75 bolas. Cada fila, cada columna y ambas diagonales es una línea, doce en total, y el payout depende solo de cuántas de las doce estén completas. Designing Bingo explicó por qué 38 bolas y por qué esos siete pasos de pago; citó la distribución del conteo de líneas de un millón de rondas simuladas. Este artículo la calcula exactamente.
ENGINE-VERIFIEDBingoEngine.kt: DRAWS = 38, FREE_CELL = 12, LINE_PAY100 = {1: 150, 2: 400, 3: 1200, 4: 3000, 5: 10000, 6: 20000, 7: 50000} (total return in hundredths; seven or more lines all pay ×500), LINES = five rows, five columns, two diagonals. play(): cursors 0–24 build the card column by column (five pool-hop draws from each column’s fifteen numbers, the centre draw consumed then overwritten by the free star), cursors 25–62 draw the 38 balls from 1–75 by the same pool hop; each cursor is one HMAC-SHA256 of “clientSeed-nonce-cursor” keyed by the server seed. The client mirror is playBingoRound() in bingo/derive.ts.
Un hecho hace que el cálculo exacto sea tratable. La cartilla contiene 24 números reales, y cuáles de ellos se marcan depende solo de cuáles 38 bolas se sacan: un conjunto específico de k números de la cartilla siendo marcados, y los otros 24 − k no, tiene probabilidad C(51, 38 − k) ÷ C(75, 38), lo mismo para cada layout de cartilla. Así que la distribución de conteos de líneas es la suma sobre los 2²⁴ = 16,777,216 patrones de marca de ese peso — algunos segundos de computación, y sin error de muestreo.
Cada conteo de línea, con precio
| LÍNEAS | CHANCE | UNO DE | PAGA | PARTICIPACIÓN DEL RETORNO |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 62.82% | 1.6 | — | — |
| 1 | 28.60% | 3.5 | ×1.5 | 42.89% |
| 2 | 7.059% | 14.2 | ×4 | 28.24% |
| 3 | 1.288% | 77.6 | ×12 | 15.46% |
| 4 | 0.2007% | 498 | ×30 | 6.02% |
| 5 | 0.02913% | 3,433 | ×100 | 2.91% |
| 6 | 0,004060% | 24 600 | ×200 | 0,81% |
| 7 o más | 0,000645% | 155 000 | ×500 | 0,32% |
| Total | 100% | 96,66% de retorno · 37,18% de tasa de acierto |
Cuota de retorno = probabilidad × pago, como porcentaje de la apuesta. Las cifras simuladas de las notas de diseño (62,9 / 28,6 / 7,05 / 1,27 / 0,20 / 0,03%, retorno ≈ 96,5%, acierto 37,1%) están dentro del margen de error de estas; la ventaja de la casa exacta es 3,34%.
Dos cosas destacan en la tabla. Primero, el dinero está en la parte inferior de la tabla de pagos: la línea única ×1,5, que se acierta en dos cartas de siete, lleva el 43% del retorno, y una y dos líneas juntas llevan el 71%. Los escalones ×100 y superiores que dan la cima del juego valen el 4% del retorno entre ellos. Segundo, los escalones son pronunciados a propósito: cada línea extra es aproximadamente de cinco a siete veces más rara que la anterior, y el pago se triplica aproximadamente, por lo que el retorno por escalón cae con la rareza en lugar de mantenerse plano. Esta es una decisión de diseño — Keno hace la misma — y es lo que mantiene toda la carta al 96,66% mientras los conteos raros se mantienen memorables.
| LÍNEAS | UNO EN |
|---|---|
| 7 | 179 000 |
| 8 | 1,30 millones |
| 9 | 12,1 millones |
| 10 | 67,5 millones |
| 11 | imposible |
| 12 (cada línea) | 2,67 mil millones |
Once es imposible porque cada celda está en una fila y una columna, así que un número sin marcar siempre rompe al menos dos líneas: los recuentos de líneas se pierden dos a la vez, nunca uno. Diez líneas es un número sin marcar fuera de ambas diagonales; doce significa todos los 24 números extraídos, C(51, 14) ÷ C(75, 38).
La estrella gratis y la carta promedio
Una bola cae en cualquier número de carta dado con probabilidad 38 ÷ 75 = 50,67%, pero una línea necesita todos sus números, y los extraídos son sin reemplazo. Una línea que evita el centro necesita cinco bolas específicas entre las 38: 38 ÷ 75 × 37 ÷ 74 × 36 ÷ 73 × 35 ÷ 72 × 34 ÷ 71 = 2,908%, uno en 34,4. Una línea a través de la estrella gratis necesita solo cuatro: 6,073%, uno en 16,5. Cuatro de las doce líneas pasan a través de la estrella — la fila central, la columna central y ambas diagonales — así que el número esperado de líneas completadas en una carta es 8 × 2,908% + 4 × 6,073% = 0,476.
| MARCADOS | PROBABILIDAD |
|---|---|
| 8 | 2,44% |
| 10 | 11,20% |
| 12 | 19.46% |
| 13 | 17.96% |
| 14 | 13.07% |
| 16 | 3.33% |
| 18 | 0.30% |
| 20 o más | 0.0095% |
Hipergeométrica: C(24, k) × C(51, 38 − k) ÷ C(75, 38). La media es 12.16 marcas; la cartilla se ve medio llena en una ronda promedio, por eso una línea es común y tres no lo es.
La tabla de números marcados es la imagen honesta de una ronda típica: aproximadamente doce de los veinticuatro números reciben una marca, dispersos en la cuadrícula, y la pregunta es solo si cinco de ellos resultan estar en una fila. Catorce o más marcas suceden una ronda de cada cuatro y aún generalmente completan como máximo una o dos líneas; la cartilla de tres líneas, una de cada 78, casi siempre es una cartilla con una disposición inusualmente afortunada en lugar de una inusualmente llena.
Porque los conteos de líneas y los pagos son fijos, el swing por ronda también es fijo: la desviación estándar del resultado de una ronda es 3.26 stakes. En 100 rondas de una unidad la pérdida esperada es 3.3 unidades y el swing alrededor de 33 unidades, así que una sesión que termine 30 unidades arriba o abajo es ordinaria. Riesgo de ruina convierte eso en cuánto tiempo generalmente dura un bankroll dado.
Verificar una cartilla
- Del panel de equidad de la ronda toma la revealed server seed, la client seed y el nonce.
- Para cursores 0 a 24 calcula HMAC-SHA256 con clave server seed sobre "clientSeed-nonce-cursor", toma los primeros 8 bytes como una fracción de 2⁶⁴, y recorre la cartilla columna por columna: cada extracción elige el índice floor(u × remaining) de los quince números de esa columna, intercambiando el último número en el hueco. La celda 12 es entonces la estrella libre.
- Para cursores 25 a 62 haz el mismo pool hop sobre 1–75 para obtener las 38 bolas, marca la cartilla, cuenta las líneas completas entre las doce, y lee el pago de la tabla anterior.
El verificador de código abierto su comando bingo hace los tres pasos en una llamada. El layout y las bolas provienen de un par de semillas comprometidas, así que una cartilla no puede ser repartida después de que se conozcan las bolas, y las bolas no pueden ser extraídas para ajustarse a la cartilla — que es lo que la distribución exacta anterior asume, y lo que el compromiso te permite verificar.
FAQ
¿Cuáles son las probabilidades de conseguir una línea de bingo?
En esta tarjeta solo de 38 de 75, el 37,18% de las rondas completan al menos una línea: 28,60% exactamente una, 7,06% dos, 1,29% tres, 0,20% cuatro, 0,029% cinco, 0,0041% seis, y siete o más una vez en 155.000.
¿Cuál es la ventaja de la casa en bingo solo?
Exactamente 3,34%: el retorno es el 96,66% de la apuesta, calculado sobre cada patrón de marca posible en lugar de simulado. El 96,5% simulado en las notas de diseño fue una estimación de este número.
¿Por qué el centro gratis vale una bola completa?
Una línea a través del centro necesita cuatro números extraídos en lugar de cinco, así que se completa el 6,07% de las veces contra el 2,91% — aproximadamente el doble de veces. Cuatro de las doce líneas pasan a través de él.
¿Puedes completar 11 líneas?
No. Cada celda está en una fila y una columna, así que cualquier número sin marcar rompe al menos dos líneas a la vez; puedes perder líneas dos a la vez pero nunca exactamente una, y el conteo salta de diez (un número sin marcar fuera de las diagonales) a doce. Las doce suceden una vez en 2.670 millones de tarjetas.
¿Cuántos números en la tarjeta generalmente se marcan?
En promedio 12,16 de 24. Doce marcas exactas es el resultado individual más probable (19,5%); veinte o más sucede una vez en aproximadamente 10.500 rondas.
¿Qué pago da la mayor parte del retorno?
La línea única en ×1.5, que paga en el 28,6% de las rondas y representa el 42,9% del retorno del 96,66%. Una y dos líneas juntas son el 71%; todo desde ×100 en adelante es el 4%.
¿Puedo verificar una ronda de bingo?
Sí. Un HMAC-SHA256 por cursor codificado por la semilla del servidor revelada sobre "clientSeed-nonce-cursor": los cursores 0–24 reparten la tarjeta, 25–62 extraen las bolas, y el comando bingo del verificador reproduce ambas y el conteo de líneas.
FUENTES Y REFERENCIAS
- Fuente del motor Betkyo, servicio de casa: BingoEngine.kt — DRAWS, FREE_CELL, LINE_PAY100, LINES, play() (tarjeta por salto de piscina de mayor a menor en cursores 0–24, bolas en cursores 25–62, pay100 por líneas completadas); OriginalBingoService.kt liquidación
- Fuente del motor Betkyo, espejo del cliente: playBingoRound(), BINGO_LINE_PAY100 y BINGO_LINES en bingo/derive.ts
- Cálculo exacto escrito para este artículo: los 2²⁴ patrones de marca de los 24 números de tarjeta, cada uno ponderado por C(51, 38 − k) ÷ C(75, 38), sumados por conteo de línea completada; las probabilidades de línea única 38·37·36·35·34 ÷ (75·74·73·72·71) y 38·37·36·35 ÷ (75·74·73·72); la distribución de número marcado hipergeométrico; desviación estándar por ronda
- Verificador provably-fair de Betkyo (GitHub, MIT): el comando bingo reproduce la tarjeta, las bolas y el conteo de líneas desde serverSeed, clientSeed y nonce
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