Une formule pour une ligne téléphonique bruyante
John Kelly Jr. travaillait aux Bell Labs sur la théorie de l'information lorsqu'il a publié son résultat en 1956. Le problème qu'il résolvait formellement n'était pas du tout lié aux paris — c'était de savoir quelle capacité d'un canal vous pouviez utiliser compte tenu du bruit. Le cadre des paris n'était que l'illustration.
La question à laquelle il répond est précise et étroite : étant donné un pari répété sur lequel vous avez un avantage, quelle fraction de votre bankroll devriez-vous miser à chaque fois pour maximiser le taux de croissance à long terme de ce bankroll ? Pas pour maximiser la chance d'un profit, et pas pour minimiser le risque — pour composer au plus vite.
C'est devenu fondamental dans les paris professionnels et l'investissement parce que la réponse n'est pas évidente. Parier trop peu gaspille l'avantage. Parier trop détruit le bankroll même quand l'avantage est réel, parce que les pertes se composent aussi brutalement que les gains.
La formule et le terme qui la tue
Pour un pari simple payant b pour 1, remporté avec une probabilité p, perdu avec une probabilité q = 1 − p :
f* = (bp − q) ÷ b — la fraction de bankroll à miser
Tout le résultat se trouve dans le numérateur. bp est ce que vous vous attendez à gagner ; q est ce que vous vous attendez à perdre. Si bp est plus grand que q vous avez un avantage et la formule vous donne une fraction positive. S'ils sont égaux — un pari véritablement équitable — elle retourne zéro.
Et si bp est plus petit que q, ce qui est la définition d'un avantage de la maison, la formule retourne un nombre négatif. Pris littéralement, elle vous dit de prendre l'autre côté. Puisque vous ne pouvez pas, la réponse exploitable est zéro.
| VOTRE PROBABILITÉ | AVANTAGE | MISE KELLY |
|---|---|---|
| 55 % | +10 % | 10 % du bankroll |
| 52 % | +4 % | 4 % du bankroll |
| 50 % | aucun | 0 |
| 49% | −2% | négatif — ne pas parier |
| 48,5% | −3% | négatif — ne pas parier |
La réponse honnête pour un jeu de casino
Chaque jeu dans un casino honnête est publié avec un taux de retour inférieur à 100%. C'est le produit : vous achetez une session, et l'avantage est le prix. Cela signifie aussi que la moitié inférieure de ce tableau est l'endroit où s'assoient tous les paris de casino.
Ainsi, un casino publiant un article sur Kelly arrive quelque part légèrement absurde : l'application correcte de la formule de dimensionnement des paris la plus respectée qui existe, à nos propres jeux, dit ne pas parier. Nous pensons que le dire clairement est plus utile que de prétendre le contraire, car l'alternative est de laisser les gens croire qu'un système de mise pourrait sauver un avantage négatif. Aucun ne peut. Pas Kelly, pas martingale, rien.
Ce que Kelly établit réellement, utilement, c'est la forme de l'erreur. Parier trop par rapport à votre avantage n'est pas simplement plus risqué — au-delà d'un certain seuil, cela rend la croissance à long terme négative même avec un véritable avantage, parce qu'une bankroll qui diminue de moitié doit doubler pour se rétablir. Sans aucun avantage, chaque mise est une surenchère, et le seul levier qui reste est la vitesse à laquelle vous souhaiteriez arriver.
Les professionnels qui ont réellement un avantage parient régulièrement une fraction de Kelly — une moitié ou un quart — parce que le chiffre complet suppose que vous connaissez exactement votre avantage. Personne ne le fait. L'incertitude sur l'avantage est en soi une raison de parier moins.
Ce qu'il faut en retenir de toute façon
La formule n'est pas inutile pour un joueur. Elle remet en question la décision d'une manière qui résiste au contact avec un avantage négatif.
- La taille des mises doit être une fraction d'une bankroll, pas un montant qui semble juste. L'idée la plus profonde de Kelly est la mise proportionnelle — la mise évolue avec la pile.
- Sans avantage, la fraction n'est pas une décision de croissance mais une décision de durée : elle détermine combien de temps le budget dure et l'intensité de la volatilité.
- Le bon cadre est donc un budget de session que vous êtes prêt à dépenser, divisé en mises assez petites pour que la session dure. C'est la même discipline que Kelly impose, appliquée à la seule variable réellement disponible.
Ce qui nous amène au conseil le moins surprenant du jeu, auquel on arrive par la direction la plus rigoureuse disponible : décidez ce que la soirée vaut pour vous, puis pariez en fractions de ce montant. Les mathématiques de la croissance optimale et les mathématiques de ne pas vous faire mal s'avèrent être d'accord.
FAQ
Qu'est-ce que le critère de Kelly ?
Une formule donnant la fraction de votre bankroll à miser pour maximiser la croissance à long terme : f* = (bp − q) ÷ b, où b est les cotes reçues, p la probabilité de gagner et q son complément.
Que dit Kelly sur les jeux de casino ?
De ne rien miser. Chaque jeu de casino a une espérance négative par conception, et Kelly retourne zéro ou une fraction négative chaque fois que l'espérance n'est pas positive.
Le pari Kelly peut-il battre l'avantage de la maison ?
Non. Aucune méthode de mise ne change l'espérance mathématique d'un pari. Kelly optimise comment exploiter un avantage que vous avez déjà ; il ne peut pas en créer un.
Pourquoi les professionnels parient-ils une fraction de Kelly ?
Parce que la formule complète suppose que vous connaissez précisément votre avantage, ce que personne ne fait. Miser la moitié ou un quart de Kelly sacrifie une partie de la croissance pour une réduction importante du dommage causé par une surestimation de l'avantage.
SOURCES & RÉFÉRENCES
- J. L. Kelly Jr., « A New Interpretation of Information Rate », Bell System Technical Journal, 1956
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