शोरगुल भरी टेलीफोन लाइन के लिए एक सूत्र
जॉन केली जूनियर बेल लैब्स में सूचना सिद्धांत पर काम कर रहे थे जब उन्होंने 1956 में यह परिणाम प्रकाशित किया। वह जो समस्या औपचारिक रूप से हल कर रहे थे वह जुआ बिल्कुल नहीं था — यह था कि शोर को देखते हुए आप चैनल की क्षमता का कितना उपयोग कर सकते हैं। जुए का आवरण केवल एक उदाहरण था।
यह जो सवाल का जवाब देता है वह सटीक और संकीर्ण है: एक दोहराए जाने वाले दांव को देखते हुए जिस पर आपको फायदा है, प्रत्येक बार आपके बैंकरोल का कौन सा अंश लगाना चाहिए ताकि उस बैंकरोल की दीर्घावधि वृद्धि दर को अधिकतम किया जा सके? मुनाफे की संभावना को अधिकतम करने के लिए नहीं, और जोखिम को कम करने के लिए नहीं — सबसे तेजी से चक्रवृद्धि करने के लिए।
यह पेशेवर सट्टेबाजी और निवेश में मौलिक बन गया क्योंकि उत्तर स्पष्ट नहीं है। बहुत कम दांव लगाना किनारे को बर्बाद करता है। बहुत अधिक दांव लगाना बैंकरोल को नष्ट कर देता है भले ही किनारा वास्तविक हो, क्योंकि नुकसान लाभ की तरह ही क्रूरता से चक्रवृद्धि होता है।
सूत्र, और वह शब्द जो इसे मार देता है
एक सरल दांव के लिए जो b से 1 का भुगतान करता है, p की संभावना के साथ जीता जाता है, q = 1 − p की संभावना के साथ हारा जाता है:
f* = (bp − q) ÷ b स्टेक करने के लिए बैंकरोल का अंश
पूरा परिणाम अंश में रहता है। bp वह है जो आप जीतने की उम्मीद करते हैं; q वह है जो आप हारने की उम्मीद करते हैं। यदि bp q से बड़ा है तो आपको किनारा है और सूत्र आपको एक सकारात्मक अंश देता है। यदि वे बराबर हैं — एक वास्तविक निष्पक्ष दांव — यह शून्य देता है।
और यदि bp q से छोटा है, जो एक हाउस एज की परिभाषा है, तो सूत्र एक नकारात्मक संख्या देता है। शाब्दिक रूप से पढ़ने पर, यह आपको दूसरी तरफ लेने के लिए कह रहा है। चूंकि आप नहीं कर सकते, कार्रवाई योग्य उत्तर शून्य है।
| आपकी संभावना | किनारा | केली स्टेक |
|---|---|---|
| 55% | +10% | बैंकरोल का 10% |
| 52% | +4% | बैंकरोल का 4% |
| 50% | none | 0 |
| 49% | −2% | नकारात्मक — शर्त न लगाएं |
| 48.5% | −3% | नकारात्मक — शर्त न लगाएं |
कैसीनो गेम के लिए ईमानदार जवाब
एक ईमानदार कैसीनो में हर गेम 100% से कम रिटर्न के साथ प्रकाशित होता है। यही प्रोडक्ट है: आप एक सेशन खरीद रहे हैं, और एज ही कीमत है। इसका मतलब यह भी है कि उस टेबल का निचला आधा हिस्सा वह जगह है जहां हर कैसीनो बेट बैठता है।
तो एक कैसीनो जो केली के बारे में एक लेख प्रकाशित करता है वह कहीं थोड़ा अजीब आता है: सबसे सम्मानित बेट-साइजिंग फॉर्मूला के सबसे सही अनुप्रयोग का, हमारे अपने गेम्स के लिए, कहना है कि शर्त न लगाएं। हम सोचते हैं कि ऐसा स्पष्ट रूप से कहना दूसरे तरीके से नाटक करने से ज्यादा उपयोगी है, क्योंकि विकल्प यह है कि लोगों को विश्वास दिलाएं कि एक स्टेकिंग सिस्टम नकारात्मक एज को बचा सकता है। कोई नहीं बचा सकता। केली नहीं, मार्टिंगेल नहीं, कुछ भी नहीं।
केली जो स्थापित करता है, उपयोगी तरीके से, वह गलती का आकार है। अपने एज के सापेक्ष ओवरबेटिंग केवल जोखिम भरी नहीं है — एक सीमा पार करने के बाद यह लंबी अवधि की वृद्धि को नकारात्मक में भी ड्राइव करता है एक असली एज के साथ भी, क्योंकि एक बैंकरोल जो आधा हो जाता है उसे रिकवर करने के लिए दोगुना होने की जरूरत है। बिल्कुल भी एज के बिना, हर साइज ओवरबेटिंग है, और बची हुई एकमात्र लीवर यह है कि आप कितनी तेजी से पहुंचना चाहते हैं।
पेशेवर जिनके पास एज है वे नियमित रूप से केली का एक अंश बेट करते हैं — आधा या चौथाई — क्योंकि पूरा नंबर मानता है कि आप अपने एज को बिल्कुल जानते हैं। कोई नहीं जानता। एज के बारे में अनिश्चितता ही अपने आप में छोटी शर्त लगाने का एक कारण है।
फिर भी इससे क्या लें
फॉर्मूला एक खिलाड़ी के लिए बेकार नहीं है। यह निर्णय को इस तरह से दोबारा फ्रेम करता है कि यह नकारात्मक एज के साथ संपर्क को सहन करता है।
- बेट साइज एक बैंकरोल का अंश होना चाहिए, न कि एक संख्या जो सही लगती हो। केली का सबसे गहरा विचार आनुपातिक स्टेकिंग है — स्टेक स्टैक के साथ चलता है।
- एक एज के बिना, अंश वृद्धि का निर्णय नहीं है बल्कि एक अवधि निर्णय है: यह सेट करता है कि बजट कितने समय तक चलता है और सवारी कितनी जंगली है।
- सही फ्रेम इसलिए एक सेशन बजट है जिसे आप खर्च करने के लिए तैयार हैं, उसे इतनी छोटी शर्तों में विभाजित किया जाए कि सेशन चले। यह वही अनुशासन है जिसे केली लागू करता है, एकमात्र वेरिएबल पर जो वास्तव में उपलब्ध है।
जो जुआ में सबसे कम आश्चर्यजनक सलाह पर उतरता है, सबसे कठोर दिशा से पहुंचा है: तय करें कि शाम आपके लिए कितनी है, फिर इसके अंशों में शर्त लगाएं। इष्टतम वृद्धि का गणित और खुद को नुकसान न पहुंचाने का गणित सहमत हो गया है।
FAQ
Kelly criterion क्या है?
एक फॉर्मूला जो bankroll का वह अंश देता है जिसे लंबी अवधि की वृद्धि को अधिकतम करने के लिए stake करना चाहिए: f* = (bp − q) ÷ b, जहाँ b प्राप्त odds हैं, p जीतने की संभावना है और q इसका पूरक है।
Kelly कैसीनो गेम्स के बारे में क्या कहता है?
कुछ न stake करें। हर house game का design ही नकारात्मक expectation है, और Kelly जब expectation सकारात्मक नहीं होती तो शून्य या नकारात्मक अंश देता है।
क्या Kelly betting house edge को हरा सकती है?
नहीं। कोई भी staking method किसी bet की expected value को नहीं बदलता। Kelly उस edge को कैसे exploit करने के लिए optimize करता है जो आपके पास पहले से है; यह कोई edge बना नहीं सकता।
पेशेवर fractional Kelly पर क्यों bet करते हैं?
क्योंकि पूरा फॉर्मूला मानता है कि आप अपने edge को सटीक रूप से जानते हैं, और कोई भी नहीं जानता। Kelly का आधा या एक चौथाई bet करना कुछ वृद्धि का त्याग करता है लेकिन edge को overestimate करने से होने वाले नुकसान में बहुत कमी लाता है।
SOURCES & REFERENCES
- J. L. Kelly Jr., "A New Interpretation of Information Rate", Bell System Technical Journal, 1956
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