ゲーム全体は1つの分数である
Fugu はマインフィールド: 25タイル、いくつかのタイルに魚が隠れていて、安全なタイルを開くたびに上昇するマルチプライヤー。このマルチプライヤーは手作業で設計されたように見える。そうではない。それは1つの分数であり、エンジンがそれを出力する。
エンジン検証済みmines/minesApi.ts から: MINES_CELLS = 25 (5×5)。minesMultiplier() は公正なオッズを1つの正確な分数として計算する — これまでに開いたすべてのタイルにおいて ∏(cells−i) / ∏(cells−mines−i) — 小数第2位まで切り捨て、テーブルのリターンファクターを掛けて再度切り捨てる。階乗積は比率が溢れる前に double で溢れるため、エンジンは BigInt で保持する。リターンファクターのデフォルトは coinGame.ts の 0.99 で、ライブテーブルはサーバーから独自の値を取得する。
その分数はただの確率の逆数である。25タイル中にm個のマインがある場合、最初のk回の選択がすべて安全である確率は、各ステップで (残りの安全なタイル) ÷ (残りのタイル) の積である — エンジンの分数はちょうどその積を上下反対にしたものである。したがってどのタイル上のマルチプライヤーも 1 ÷ (それに到達した確率), × 0.99 である。
このように書くと、Fugu について人々が驚くべきだと思う2つのことは両方とも即座に明らかになる。
なぜ10マイン時と15マイン時がペイアウト同じなのか
ボード全体をクリアするのは、すべての安全なタイルを開くことを意味し、その確率は 1 割る マインの設置方法の異なる方法の数である: 1 ÷ C(25, m)。したがってフルクリアペイアウトは C(25, m) × 0.99 であり、二項係数は対称である — 10個のタイルがマインを保持する選び方は、15個のタイルがそうでない選び方と同じ数である。
| マイン | クリアする安全なタイル | フルクリアオッズ | 公正ペイアウト | エンジンペイアウト |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 24 | 1/25 | ×25 | ×24.75 |
| 2 | 23 | 1 in 300 | ×300 | ×297.00 |
| 3 | 22 | 1 in 2,300 | ×2,300 | ×2,277.00 |
| 5 | 20 | 1 in 53,130 | ×53,130 | ×52,598.70 |
| 10 | 15 | 1 in 3,268,760 | ×3,268,760 | ×3,236,072.40 |
| 15 | 10 | 1 in 3,268,760 | ×3,268,760 | ×3,236,072.40 |
| 20 | 5 | 1 in 53,130 | ×53,130 | ×52,598.70 |
| 24 | 1 | 1 in 25 | ×25 | ×24.75 |
表を上から下へ、下から上へと読んでください：数字の同じ列です。10鉱山と15鉱山は鏡像であり、5と20、1と24も同様です。
したがって、サイトが表示できる最大数字である×3,236,072.40は、2つの異なるボード同時に属しており、最も難しいボードではありません。12または13鉱山の方がより多く配当されます（C(25,12) = C(25,13) = 5,200,300）が、これらは選択不可であり、ガイドでは配当がこれらの数字をはるか前にテーブルの最大利益で制限されていると明確に述べられています。フルクリアの数字は公式の特性であり、誰も獲得した賞ではありません。
ラダーの他の端
同じ分数が最初のタイルの価格を設定し、ここで鉱山数はフルクリア表が示唆するものの反対を行います：鉱山が多いほど、最初のステップが大きくなります。
| 鉱山 | 最初のピックが安全である確率 | ENGINE PAYS |
|---|---|---|
| 1 | 96.0% | ×1.02 |
| 3 | 88.0% | ×1.11 |
| 5 | 80.0% | ×1.23 |
| 10 | 60.0% | ×1.64 |
| 15 | 40.0% | ×2.47 |
| 20 | 20.0% | ×4.95 |
| 24 | 4.0% | ×24.75 |
24個のマインがある場合、安全なタイルはちょうど1つなので、最初のピックは全クリア — そしてこの行は上の表と一致します。必ずそうなります。
1つのマインはほぼ終わらないスローラダーです。24個のマインは単一の1/25ドローで、マインフィールドに見せかけています。盤面は両方の場合で同じに見えます。分数は異なります。
各ピックの費用
記事から持ち出す価値のある部分がここです。倍率が0.99をそこに到達する確率で割った値なら、任意のタイルでキャッシュアウトする期待値は確率 × (0.99 ÷ 確率) = 0.99です。すべてのタイル。すべてのマイン数。1ピック後、20ピック後、1マイン盤面、20マイン盤面のいずれでキャッシュアウトしても、平均リターンはドルあたり99セントです。
これはLimboがすべてのターゲットで請求する同じ定額手数料であり、Kobanのラダーが行うことの反対です — そこでは各ランクが個別に×1.96で価格設定されるため、手数料がランクごとにコンパウンドします。Fuguは確率からパス全体を一度価格設定するため、より深く進むと手数料は上がりません。分散が上がり、分散だけが上がります。
エンジンの2つのフロア — 1つは公正な分数で、1つは×0.99の後 — いくつかのランクから100分の1を削ぎ落とすため、正確な数字は99%ちょうどではなく、わずかに下にあります。エンジンは分数自体が四捨五入の対象にならないよう、商品をBigIntで保持しています。
そのため、マイン選択機を読む正直な方法は「どの盤面が最良の支払いか」ではなく — すべては同じ支払い — 「各タイルで自分のステーク全体のどれだけをリスクにさらしたいか」です。低いマイン数は多くの小さなステップ。高いものは少数の暴力的なステップです。破産リスク内のサイズ算術が全体的な決定であり、エンジンの分数がそれをクリーンにします。
遊5×5盤面とその1つの分数
Fugu: マイン数を選んで、タイルをめくり、上記の公式に対してラダーを確認するFugu →
FAQ
Fuguの最高倍率は？
画面上での×3,236,072.40は、10個または15個のマインで安全なタイルをすべてクリアした場合です — C(25,10) × 0.99。これは支払われるプライズではなく、数式の特性です。ガイドは支払額がテーブルの最大利益に制限されることを述べています。
10個のマインと15個のマインが同じ支払いなのはなぜ？
全クリアペイアウトはマインを配置する方法の数C(25, m)に0.99を掛けたもので、C(25,10)はC(25,15)と等しいからです。同じ対称性は5と20をペアにし、1と24をペアにします。
どのマイン数が最高の確率ですか？
ありません。倍率は0.99を各タイルに到達する確率で割った値なので、任意の場所でキャッシュアウトする期待リターンはすべての盤面で99%です。マイン数は乗り心地がどう感じるかを変えますが、その費用は変わりません。
Fugu倍率はどのように計算されますか？
1つの正確な分数として — 明かされたすべてのタイル全体で(残りタイル)の積を(残り安全タイル)の積で割った値 — 小数点第2位でフロアリングされ、テーブルのリターンファクター(デフォルトでは0.99)を掛けて、再度フロアリングされます。エンジンは通常の数値をオーバーフローするため、商品をBigIntで計算します。
SOURCES & REFERENCES
- Betkyo engine source: MINES_CELLS and minesMultiplier() in mines/minesApi.ts; the default return factor of 0.99 in _shared/coinGame.ts. Every figure in the tables is that function evaluated, not a published paytable
- Binomial coefficients and their symmetry C(n,k) = C(n,n−k) — standard in any combinatorics text
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