盤面、抽選、そしてたった一つの公式
ケノはチケット価格と配当表が同じ画面に表示されているロッタリーです。盤面には40個の数字があります。あなたはその中から1〜10個を選びます。ゲームは10個のボールを引き、重複はなく、あなたの選んだ数字がいくつ当たったかに応じて配当が決まります。抽選が始まった後には判断の余地はなく、保持するカードもありません。つまりゲーム全体は、一つの正確な答えを持つ問いに帰着します：k個選んだ場合、それぞれのヒット数はどれくらいの確率で起こるのか？
ENGINE-VERIFIEDkeno/kenoGame.tsx: BALLS = 40、MAX_PICKS = 10；盤面は1から40までの数字を表示し、11個目の選択は拒否します。_shared/demoLocal.ts内のkenoDraws()は40個のプールを構築し、10回連続でチェーンリンクをハッシュ化し、floor(norm × last)を取り、縮小するプールサイズ`last = 40 − i`に対してlast − 1でキャップし、そのボールをプッシュしてプールから入れ替えます — 10個のボール、重複なし。demoKenoBet()は選んだ数字のうち抽選セットに含まれるものをヒットとしてカウントし、倍率をKENO_PAYTABLE[level][picks.length][hits.length]として参照します。
40個から10個を非復元抽出するのは超幾何分布で、ロッタリー抽選と同じ算術です。k個の数字を選んだ場合、ちょうどhヒットする確率はC(k, h) × C(40 − k, 10 − h) ÷ C(40, 10)です。分母は異なる10個のボールの組み合わせの数、847,660,528であり、そのすべてが等しい確率で起こります。この式にはリスクレベルについての言及は一切なく、どの数字を選んだかについての言及もありません。以下の表はすべて、盤面が許すすべてのチケットについてこの式を計算した結果であり、さらにエンジン自身の抽選ループを200万回再現して検証されています。
チャート：すべての選択数における全ヒット数
| 選択数 | 0ヒット | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 75.00% | 25.00% | — | — | — | — | — | — | — | — | — |
| 2 | 55.77% | 38.46% | 5.77% | — | — | — | — | — | — | — | — |
| 3 | 41.09% | 44.03% | 13.66% | 1.21% | — | — | — | — | — | — | — |
| 4 | 29.99% | 44.42% | 21.42% | 3.94% | 0.23% | — | — | — | — | — | — |
| 5 | 21.66% | 41.65% | 27.77% | 7.93% | 0.96% | 0.038% | — | — | — | — | — |
| 6 | 15.47% | 37.13% | 32.13% | 12.69% | 2.38% | 0.20% | 0.0055% | — | — | — | — |
| 7 | 10.92% | 31.85% | 34.40% | 17.64% | 4.57% | 0.59% | 0.034% | 0.00064% | — | — | — |
| 8 | 7.61% | 26.47% | 34.74% | 22.24% | 7.48% | 1.33% | 0.12% | 0.0047% | 1,708,993分の1 | — | — |
| 9 | 5.23% | 21.40% | 33.50% | 26.06% | 10.94% | 2.53% | 0.31% | 0.019% | 0.00049% | 27,343,888分の1 | — |
| 10 | 3.54% | 16.88% | 31.07% | 28.82% | 14.71% | 4.24% | 0.68% | 0.057% | 0.0023% | 2,825,535分の1 | 847,660,528分の1 |
正確な超幾何分布確率。各セルは抽選の整数カウントをC(40, 10) = 847,660,528で割ったもの。100万分の1未満のセルはオッズとして表示。各行の合計は100%。
どの列を縦に見ても、同じ物語が10回語られているだけだ。マークする数字を増やせば重みは右にシフトし——平均的な的中数は増えるが——どの行も上端は行の長さが伸びる以上に速く薄くなっていく。7つ以上マークする人にとっては2的中が最も起こりやすい結果であり、3〜6個では1的中、1〜2個の選択では最も起こりやすい結果はゼロ的中そのものだ。
覚えておく価値があるのは平均値だ。40個の数字のうち10個が抽選されるので、各マークがヒットする確率はちょうど4分の1であり、kピックのチケットは他の条件がどうであれ平均してk÷4回ヒットする。10ピックの平均は2.5的中、4ピックの平均は1的中。配当表はすべてこの平均値を軸に組み立てられており、それぞれがそのラインに着地したチケットをどう扱うかを決めている。
各ピック数が約束すること
| ピック数 | 平均的中数 | 最も可能性が高い | ヒットなし | 少なくとも1回 | すべてのピックがヒット |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 0.25 | 0 (75.00%) | 75.00% | 25.00% | 4分の1 |
| 2 | 0.50 | 0 (55.77%) | 55.77% | 44.23% | 17.3分の1 |
| 3 | 0.75 | 1 (44.03%) | 41.09% | 58.91% | 82.3分の1 |
| 4 | 1.00 | 1 (44.42%) | 29.99% | 70.01% | 435分の1 |
| 5 | 1.25 | 1 (41.65%) | 21.66% | 78.34% | 2,611分の1 |
| 6 | 1.50 | 1 (37.13%) | 15.47% | 84.53% | 18,278分の1 |
| 7 | 1.75 | 2 (34.40%) | 10.92% | 89.08% | 155,363分の1 |
| 8 | 2.00 | 2 (34.74%) | 7.61% | 92.39% | 1,708,993分の1 |
| 9 | 2.25 | 2 (33.50%) | 5.23% | 94.77% | 27,343,888分の1 |
| 10 | 2.50 | 2回 (31.07%) | 3.54% | 96.46% | 847,660,528分の1 |
平均ヒット数はちょうどピック数÷4です。「少なくとも1回」というのは、チケットが抽選に何らかの形で関わる確率であり、これは配当が出る確率とは違います——それは下記のレベルによって決まります。
10ピックのチケットはほぼ必ず何かヒットします。何もヒットしないのは28回に1回だけです。これは気前の良いゲームに感じられますが、配当表がその感覚を修正します。10ピックのチケットは、Lowでは2ヒット未満、ClassicとMediumでは3ヒット未満、Highでは4ヒット未満では何も支払われません。そして、その無配当のヒット数こそが、チャートが「よくある」としているものです。何かにヒットすることと、それに対して支払われることは別の出来事であり、その間のギャップこそがケノのテーブルが調整されている理由です。
最後の列こそ、皆が探し求めているものです。完全一致——マークした数字がすべて引かれること——は、1ピックでは4分の1の確率で起こる出来事ですが、10ピックになると天文学的に稀になります。ピックが1つ増えるごとに、不利な確率は増大する係数で掛け合わされていきます。4ピック目でおよそ5倍、10ピック目で31倍になります。5分の5は2,611チケットに1回、8分の8は170万チケットに1回、10分の10は847,660,528チケットに1回起こります。抽選はそれが完全一致を求められているとは知らないので、数字の選び方、レベル、タイミングのどれを変えても、これらの数値は変わりません。
すべてをヒットさせること、そしてエンジンがそれに対して支払うもの
| ピック数 | 全ヒットのオッズ | フェア倍率 | CLASSICの配当 | LOW | MEDIUM | HIGH |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 4分の1 | ×4 | ×3.96 | ×1.85 | ×2.75 | ×3.96 |
| 2 | 17.3分の1 | ×17.3 | ×4.50 | ×3.80 | ×5.10 | ×17.10 |
| 3 | 82.3分の1 | ×82.3 | ×10.40 | ×26 | ×50 | ×81.50 |
| 4 | 435分の1 | ×435 | ×22.50 | ×90 | ×100 | ×259 |
| 5 | 2,611分の1 | ×2,611 | ×36 | ×300 | ×390 | ×450 |
| 6 | 18,278分の1 | ×18,278 | ×40 | ×700 | ×710 | ×710 |
| 7 | 155,363分の1 | ×155,363 | ×60 | ×700 | ×800 | ×800 |
| 8 | 1,708,993分の1 | ×1,708,993 | ×70 | ×800 | ×900 | ×900 |
| 9 | 27,343,888分の1 | ×27,343,888 | ×85 | ×1,000 | ×1,000 | ×1,000 |
| 10 | 847,660,528分の1 | ×847,660,528 | ×100 | ×1,000 | ×1,000 | ×1,000 |
フェア倍率は1÷確率で求められる値で、全中セルが払戻全体を単独で担うとした場合の配当に相当する。実際の支払倍率との差は控除率ではなく、より低いヒット数のセルに振り向けられている分の払戻である。
エンジン検証済みkeno/paytable.ts内のKENO_PAYTABLEは、サーバーが実際に支払う基準であるTB_KENO_PROBの各行を反映している。各行の最上段セルはCLASSICで3.96、4.50、10.40、22.50、36、40、60、70、85、100。LOWで1.85、3.80、26、90、300、700、700、800、1000、1000。MEDIUMで2.75、5.10、50、100、390、710、800、900、1000、1000。HIGHで3.96、17.10、81.50、259、450、710、800、900、1000、1000。デモの決済はベット額にこのセルの倍率を掛け、結果をセント単位で切り捨てる。
1、2、3ピックのHIGHがこの表を最も明快に読み解ける例で、これらの行では全中セルだけが配当対象となる。そこでは倍率がそのまま払戻全体を表す。×3.96はフェア倍率×4に対して99.00%、×17.10はフェア倍率×17.33に対して98.65%、×81.50はフェア倍率×82.33に対して98.99%となる。これが、唯一の賞金に対する割引として表れる控除率だ。
それ以外のすべての行では、全中はフェア価格のごく一部しか支払われず、その割合は急速に小さくなっていく。5ピック中5的中はフェア倍率で×2,611の価値があるが、HIGHでは×450しか支払われない。これは同じ行の3的中・4的中セルに残りが配分されているためだ。10ピックになると、×1,000セルはフェア価値の約85万分の1程度しか支払われず、チケットの払戻全体への寄与はわずか1,000÷847,660,528——ベット額の0.00012%にすぎない。1ドルのチケットでは、ケノ画面上の最大数字の価値は1セントの1万分の1程度にしかならない。残りの99%の払戻は、表が「ありふれた」と呼ぶセルに存在している。
チケットがベット額を上回るとき
| ピック数 | CLASSIC | LOW | MEDIUM | HIGH |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 25.00% | 25.00% | 25.00% | 25.00% |
| 2 | 44.23% | 44.23% | 44.23% | 5.77% |
| 3 | 14.88% | 58.91% | 14.88% | 1.21% |
| 4 | 25.59% | 25.59% | 25.59% | 4.17% |
| 5 | 36.69% | 36.69% | 36.69% | 8.93% |
| 6 | 15.28% | 47.40% | 15.28% | 2.58% |
| 7 | 22.83% | 57.23% | 22.83% | 5.20% |
| 8 | 31.17% | 65.92% | 31.17% | 8.94% |
| 9 | 39.86% | 39.86% | 39.86% | 13.80% |
| 10 | 48.51% | 79.58% | 48.51% | 19.69% |
×1を超える配当のあるセルのみをカウントしています。賭け金の一部または全額が戻ってくるセル──Classicの2つの×1.00セル(3ピックで1ヒット、6ピックで2ヒット)、その×0.80、×0.25、×0.47セル、Lowの×0.70、Mediumの×0.40(1ピックでノーヒット)──は除外されています。すべての数値は上記のチャートからのヒット数確率です。
| ピック数 | CLASSIC | LOW | MEDIUM | HIGH |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 99.00% | 98.75% | 98.75% | 99.00% |
| 2 | 99.04% | 98.85% | 98.65% | 98.65% |
| 3 | 99.02% | 98.87% | 98.99% | 98.99% |
| 4 | 98.96% | 98.92% | 98.78% | 98.91% |
| 5 | 98.99% | 98.90% | 98.94% | 98.89% |
| 6 | 98.97% | 99.01% | 98.83% | 99.00% |
| 7 | 98.98% | 98.94% | 98.96% | 98.96% |
| 8 | 99.02% | 99.00% | 98.92% | 98.96% |
| 9 | 98.98% | 99.07% | 98.94% | 98.96% |
| 10 | 99.04% | 98.76% | 98.97% | 99.01% |
KENO_PAYTABLEの各セルにヒット数の確率を掛けて合計したもの。40種のテーブルはすべて0.42ポイント以内に収まっており、最低は98.65%(MediumとHighの2点選択)、最高は99.07%(Lowの9点選択)です。
この2つの表を合わせたものが全体像です。前者は65倍もの幅で動きます — Lowの10点選択では5回に4回ステークを上回り、Highの3点選択では83回に1回しか上回りません — 一方、後者はほとんど動きません。ケノ画面で何を選ぼうと、チケットの価値が半ポイント以上変わることはありません。選択によって変わるのは、その価値がどう届くか、つまり小さなリターンの連続として来るか、稀に大きなリターンとして来るかです。ケノのリスクレベルが何を変えるのかでは、このトレードオフを詳しく分解しています。上のチャートは、それらすべてのテーブルが組み立てられる固定入力です。
すべてのチケットは、同じ847,660,528通りの組み合わせからの新たな抽選です。1時間出ていない数字も、3回連続で出た数字も確率はまったく同じで、あと一歩で外れたチケットも次回当たりやすくなるわけではありません — 賭博者の誤謬を参照してください。デモの抽選では、ボールが落ちる前にハッシュチェーンとソルトをコミットし、その後に公開するため、どの抽選も1枚のチケットから再計算できます。
遊検証可能なケノ、すべての抽選が確認できます
40個の数字から10個が抽選され、ベット前に画面上で各ピック数のペイテーブルを確認できますケノへ →
よくある質問
ケノで10個すべての数字を当てる確率は?
40個中10個が抽選されるボードで、847,660,528分の1です — これはC(40, 10)、つまり異なる抽選の総数であり、そのうちちょうど1つが10点選択のチケットに一致します。このエンジンでは、このセルはLow、Medium、Highで×1,000、Classicで×100を支払います。
ケノで5つ中5つ当てる確率は?
2,611分の1(0.038%)です。5つ中4つ当たる確率は0.96%、5つ中3つは7.93%です。このエンジンでは5つ中5つの的中に対して、Classicで×36、Lowで×300、Mediumで×390、Highで×450を支払います。
ケノでは何個の数字を選ぶべきですか?
すべてのピック数とレベルを通じて還元率は半ポイント以内(98.65%から99.07%)に収まっているため、どのピック数が有利ということはありません。ピック数が多いほど平均的なヒット数は増えます — ちょうどマークした数の4分の1です — しかし、支払いを受けるためにはより多くのヒットが必要になります。ピック数が少ないほど、当たるか外れるかのシンプルなチケットになります。
平均していくつの数字が当たりますか?
マークした数字の4分の1です。40個中10個が抽選されるためです。10点選択では平均2.5ヒットで、ちょうど2つ当たる確率は31.07%です。4点選択では平均1ヒットです。すべて外れる確率は、1点選択の75.00%から10点選択の3.54%まで幅があります。
毎回同じ数字を選ぶとオッズは良くなりますか?
いいえ。10球の抽選はすべて等確率かつ独立しているため、出やすい・出にくい数字の組み合わせというものはありません。どのヒット数の確率も、マークした数字の数だけに依存し、その確率はこの記事のチャートの通りです。
×1,000のケノ賞金は狙う価値がありますか?
10ピック・チケットにおいて、賭け金の0.00012%の価値があります——847,660,528分の1の確率に対して×1,000倍です。このチケットの99%のリターンのほとんどは通常のヒット数で支払われ、Highでは4ヒット未満だとまったく支払われません。
出典・参考資料
- Betkyoエンジンのソースコード: keno/kenoGame.tsx内のBALLS = 40およびMAX_PICKS = 10; _shared/demoLocal.ts内のkenoDraws()およびdemoKenoBet()（40個の数字プールから非復元で10個のボールを抽選し、抽選セットに対してヒットをカウントし、ピック数とヒット数に基づいて倍率を参照し、セント単位で切り捨て）
- Betkyoエンジンのソースコード: keno/paytable.ts内のKENO_PAYTABLE——サーバーが支払いの基準とするTB_KENO_PROB行をそのまま反映した、40個すべてのペイアウトテーブル
- 本記事のために書かれた正確な計算: 各ピック数・ヒット数に対する超幾何分布 C(k, h) × C(40 − k, 10 − h) ÷ C(40, 10)、そのセルから導き出した各テーブルのリターンおよび賭け金超過確率、さらにエンジンのスワッププール抽選を200万チケット分リプレイしたクロスチェック
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