凯利公式：告诉大多数赌徒什么都不要下注的公式

为嘈杂电话线路设计的公式

约翰·凯利（John Kelly Jr.）在贝尔实验室从事信息论研究时于1956年发表了这一结果。他当时正式要解决的问题根本不是赌博——而是在有噪声的情况下，你能利用信道容量的多少。赌博只是一个说明性的例子。

这个公式回答的问题很精确也很狭窄：给定一个你有优势的重复性投注，每次应该拿出资金的多大比例下注，才能使该资金的长期增长率最大化？不是为了最大化盈利的概率，也不是为了最小化风险——而是为了最快地复利增长。

它之所以成为专业投注和投资的基础理论，是因为答案并不显而易见。下注太少会浪费优势；下注太多，即使优势确实存在，也会摧毁资金，因为亏损的复利效应和盈利一样残酷。

这个公式，以及扼杀它的那个术语

对于一个简单的赔率为b比1的投注，获胜概率为p，失败概率为q = 1 − p：

f* = (bp − q) ÷ b应下注的资金比例

整个结果都体现在分子中。bp是你的期望收益；q是你的期望损失。如果bp大于q，说明你有优势，公式会给出一个正数。如果两者相等——即真正公平的投注——结果为零。

如果bp小于q，也就是庄家优势的定义，公式会给出一个负数。字面上理解，它是在告诉你应该站到对面去。但由于你做不到这一点，实际可行的答案就是零。

在一个赔率为一赔一的投注中，凯利公式在不同优势下给出的结果

关于赌场游戏的诚实回答

任何一家诚实赌场里的每款游戏，公布的返还率都低于100%。这就是产品本身：你买的是一段游戏时间，而优势就是你付出的代价。这也意味着，那张表格的下半部分，正是所有赌场投注所处的位置。

因此，一家赌场发表一篇关于凯利公式的文章，最终会得出一个略显荒谬的结论：把这个世界上最受推崇的下注规模公式正确应用到我们自己的游戏上，得出的答案是——不要下注。我们认为，坦率地说出这一点，比假装并非如此更有价值，因为另一种选择是让人们误以为某种资金管理系统可以挽救一个负期望。没有任何方法能做到这一点。凯利公式不行，马丁格尔不行，任何方法都不行。

凯利公式真正有用地揭示出的，是错误的形态。相对于你的优势下注过大，不仅仅是风险更高——超过某个临界点后，它会使长期增长变成即便存在真实优势也为负，因为本金减半后需要翻倍才能恢复。而在完全没有优势的情况下，任何下注规模都是过度下注，唯一剩下的变量只是你想多快到达终点。

那些真正拥有优势的职业玩家，通常只下注凯利公式建议数额的一部分——一半或四分之一——因为完整的凯利数值假设你确切知道自己的优势是多少。而没有人能做到这一点。对优势的不确定性本身，就是应该减小下注规模的理由。

尽管如此，仍有值得借鉴之处

这个公式对玩家而言并非毫无用处。它以一种即使面对负期望也依然成立的方式，重新构建了决策框架。

1. 下注规模应该是本金的一个比例，而不是一个凭感觉觉得对的数字。凯利公式最核心的理念是比例下注——赌注随本金一同变动。
2. 在没有优势的情况下，这个比例不再是一个关于增长的决定，而是一个关于持续时间的决定：它决定了你的预算能坚持多久，以及这段过程会有多刺激。
3. 因此，正确的框架是：设定一个你愿意花费的单次游戏预算，再将其划分为足够小的赌注，让这次游戏能持续更久。这与凯利公式所强调的自律是一致的，只不过应用在了唯一真正可控的变量上。

这最终得出了赌博界中最不令人意外的建议，却是通过最严谨的路径得出的：先决定这个夜晚对你来说值多少钱，然后按其中的一小部分来下注。最优增长的数学与不伤害自己的数学，最终殊途同归。

常见问题

什么是凯利公式?

一个用来计算应下注资金比例以最大化长期增长的公式：f* = (bp − q) ÷ b，其中 b 为所获赔率，p 为获胜概率，q 为其补数。

凯利公式对赌场游戏有什么说法?

应该下注为零。每个庄家游戏在设计上都是负期望的，只要期望不为正，凯利公式就会得出零或负的下注比例。

凯利下注法能战胜庄家优势吗?

不能。任何下注方法都无法改变一次下注的期望值。凯利公式优化的是如何利用你已经拥有的优势，而不能凭空创造优势。

为什么专业玩家使用分数凯利下注?

因为完整公式假设你能精确知道自己的优势，但没有人能做到这一点。下注半份或四分之一份凯利会牺牲一些增长率，但能大幅降低因高估优势而造成的损失。

来源与参考文献

• J. L. Kelly Jr.，《A New Interpretation of Information Rate》，Bell System Technical Journal，1956年

本文涉及的游戏

骰子 — 规则与免费试玩 →Limbo — 规则与免费试玩 →