系统和轮盘
马丁格尔是赌场中最古老的投注系统，也是最容易解释的。在偶数赔率下投注一个单位。如果赢了，重新开始。如果输了，加倍赌注再投注一次，并继续加倍直到赢为止。因为每个赌注都大于所有之前亏损的总和，第一次赢总是让玩家领先一个单位。这感觉不像赌博，更像是在收集。
ENGINE-VERIFIEDroulette/derive.ts header: “cursor 0 alone decides the pocket: floor(u × 37)” and “ev:red|black|odd|even|low|high even chances ×2 … Single zero — house edge 2.7%.” Each spin is its own nonce, so no spin carries information about the next; an even-money bet wins on 18 of the 37 pockets and loses on the other 19, zero included.
even money_CHOICES × 2 … 单零 — 庄家优势 2.7%。
each spin是其自己的 nonce,所以没有自旋携带关于下一个的信息; 偶数赔率下注在37个口袋中的18个上赢,在其他19个上输,包括零。</1>
| 一个系列,定价 | 单零轮上的偶数赔率马丁格尔系列,从一个单位开始 | 最大投注 | 所需资金 | 系列爆仓 |
|---|---|---|---|---|
| 预期下注 | 预期结果 | 3 | 7 | 1 in 7.4 |
| 3.08 | −0.08 | 5 | 31 | −0.14 |
| 7 | 127 | 1 in 106 | 7.59 | −0.21 |
| 10 | 1,023 | 1 in 784 | 11.31 | −0.31 |
| 12 | 4,095 | 1 in 2,974 | 13.95 | −0.38 |
| 14 | 16,383 | 1 in 11,279 | 16.75 | −0.45 |
| 17 | 131,071 | 1 in 83,295 | 21.22 | −0.57 |
首个赌注的单位数。一个系列获胜时+1，除非每个赌注都输，那样就输掉整个资金。预期结果除以预期下注额在每一行都是−2.70%。
横向读取任何一行，系统的形状就很清楚了。更深层次的马丁格尔破产频率更低——十次翻倍在784个系列中失败一次，十七次在83,295个系列中失败一次——但这种可靠性的代价是资金，它随着每一行翻倍，以及破产时的损失大小。随着系统变得更安全，一个系列的预期结果变得更糟，而不是更好：十个赌注时−0.31单位，十七个时−0.57。原因在最后两列。更深层次的系列平均下注更多，轮盘拿走所有下注的1/37。
代数足够短可以展示。一个系列以概率1 − (19/37)ⁿ获胜+1，以概率(19/37)ⁿ输掉2ⁿ − 1，所以其预期结果是1 − (38/37)ⁿ。由于38/37大于1，这个数字对每个n都是负数且随n增长。系列中的预期下注额计算为37 × ((38/37)ⁿ − 1)。用一个除以另一个，n就消去了：系列输掉其下注的恰好三十七分之一，无论其深度如何。
通常赢的会话
| 最大赌注 | 资金 | 目标 | 达到目标 | 先破产 | 预期结果 | 预期下注 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 7 | 127 | +100 | 38.8% | 61.2% | −13.3 | 493 |
| 10 | 1,023 | +100 | 88.0% | 12.0% | −28.7 | 1,062 |
| 10 | 1,023 | +1,000 | 27.9% | 72.1% | −172.8 | 6,393 |
| 17 | 131,071 | +1,000 | 98.8% | 1.2% | −570.2 | 21,096 |
首注金额单位。会话在达到目标或首次爆炸系列时停止。预期结果除以预期投注金额，每行为−2.70%。
这就是为什么马丁格尔系统有拥护者。拥有1,023单位资金的玩家进行游戏直到赢得100就退出，100次中有88次会赢钱走人。拥有131,071单位资金的玩家目标为赢1,000，几乎100次中有99次会赢钱走人。这些都是真实陈述，使用过该系统几次的玩家可能只见过获胜分支。
预期结果列是同一真理的另一半。罕见的失败会话会返还如此之多，以至于平均会话在第一种情况下损失28.7单位，在第二种情况下损失570单位。该系统不会降低庄家优势；它将稳定的小损失转换为频繁的小胜利和偶然的灾难性损失，而灾难的规模恰好使得平均值保持在所有投注金额的2.70%。
连胜不是罕见的
| 损失连胜 | 100次旋转内 | 1,000次旋转内 |
|---|---|---|
| 7次或更多 | 36.3% | — |
| 10次或更多 | 5.6% | 46.2% |
| 12次或更多 | — | 15.0% |
| 17或更多 | — | 0.57% |
精确计算，通过动态规划法计算当前连续运行长度。损失是指19个输钱口袋中的任何一个，包括零。
连续输十次听起来像是会上新闻的事。在一千多次旋转中——快速赌桌上的一个漫长夜晚——这发生的频率接近一半。在一百次旋转内连续七次的概率好于三分之一。结束马丁格尔系统的连串失败不是运气不好的系统碰到的异常事件；对于任何一个人实际拥有的赌资，它是足够长的一场游戏中的预期结束。1913年蒙特卡洛著名的黑色连串是人们记得的故事，但连串的算术说普通的才是重要的。
这不是反向的赌徒谬误。轮盘在两个方向都没有记忆：在十次损失之后，下一次旋转仍然在37次中赢18次。这个表格衡量的是长连串在一场游戏中出现的频率，这是一个与下一次旋转会发生什么不同的问题——见赌徒谬误。
结束它的限制
即使是无限的赌资也无法拯救这个系统，因为赌桌有限制。倍增阶梯会在远未达到无穷之前就遇到最大赌注限制。
引擎验证_shared/coinGame.ts中的demoContext()设置演示赌桌的限制：minBet 1，maxBet 100000。从最小值开始，赌注1、2、4……65,536都被允许，但131,072不被允许，所以演示赌桌上的马丁格尔最多可以下注17次，需要131,071个单位的本金支持。真实金钱限制来自币种配置（coinMinBet、coinMaxBet），因币而异；它们之间的比率决定了深度。
在17次下注时，数字是第一个表格的最后一行：冒131,071个单位的风险来赢得1个单位，在83,295个连串中爆裂一次，每个连串预期损失0.57个单位。赌桌限制通常被描述为赌场对抗马丁格尔的防线。更好的描述是系统深度的下限，这个表格显示深度从未是阻止玩家获利的东西。
遊单零轮盘，每次旋转都可验证
偶数次机会在37个口袋中的18个上支付×2——无论你使用什么系统都是相同的2.70%轮盘→
常见问题
马丁格尔策略在轮盘上有效吗？
它经常赢得小额，很少输得大额，平均总是亏损。在单零轮盘上，任何深度的任何马丁格尔都会损失下注总额的2.70%。在10次倍增的情况下，一个连串在约784个连串中爆裂一次，平均损失0.31个单位。
马丁格尔需要多少赌资？
2ⁿ − 1个单位来度过n次下注。10次下注需要1,023个单位，17次下注需要131,071个单位。在这个引擎的演示赌桌上（最小1，最大100,000），17次下注是限制允许的最多次数。
在轮盘上，10次失败连串的概率有多大？
在单零轮盘的偶数概率下注中，至少10次损失的连串在100次旋转中任何地方出现5.6%的时间，在1,000次旋转中任何地方出现46.2%的时间。这样一个连串之后的下一次旋转仍然在37次中赢18次。
如果马丁格尔游戏通常以盈利结束，它如何能平均亏损？
因为失败的游戏要大得多。以1,023个单位和+100目标，88.0%的游戏达到目标，但其他12.0%会损失大部分赌资，游戏的预期结果是−28.7个单位。
有没有一个投注系统能够战胜庄家优势？
没有仅通过改变下注额的系统能做到。每一轮旋转都是独立的，平均而言返还下注额的36/37，所以任何下注额序列都返还总下注额的36/37。改变下注额只会改变方差和破产风险，而不是优势。
资源和参考
- Betkyo引擎源代码：roulette/derive.ts（floor(u × 37)，偶数机会×2，单零，2.7%优势）
- Betkyo引擎源代码：_shared/coinGame.ts中的demoContext()（演示minBet 1，maxBet 100000）；真钱限制来自coinMinBet和coinMaxBet
- 为本文撰写的精确计算：破产概率和预期结果系列、按首步分析的游戏局结果，以及按动态规划的连败概率（按连败长度）
本文中的游戏