棋盘、开奖和那一个公式
基诺是一种把票价和奖金表都印在同一屏幕上的彩票游戏。棋盘上有四十个数字。你可以从中选一到十个数字。游戏会开出十个球,没有重复,并根据你选中的数字被开出的数量来派彩。开奖开始后没有任何决策可做,也没有牌可持有,这意味着整个游戏归结为一个有确切答案的问题:给定k个选号,每种命中数的概率是多少?
引擎已验证keno/kenoGame.tsx:BALLS = 40,MAX_PICKS = 10;棋盘渲染数字1到40,并拒绝第十一个选号。_shared/demoLocal.ts中的kenoDraws()构建一个包含40个数字的号码池,然后连续十次对链式哈希取值,取floor(norm × last),并以last − 1为上限,针对不断缩小的池大小`last = 40 − i`,推入该球并将其从池中换出——十个球,无重复。demoKenoBet()将选号中包含在开奖集合中的数量计为命中数,并通过KENO_PAYTABLE[level][picks.length][hits.length]查找倍数。
从四十个数字中不放回地开出十个球,这是超几何分布,与彩票开奖的算法相同。选中k个数字时,恰好命中h个的概率为C(k, h) × C(40 − k, 10 − h) ÷ C(40, 10)。分母是不同的十球开奖组合总数,即847,660,528,且每一种都是等概率的。这个公式中没有任何部分涉及风险等级,也没有任何部分涉及你选了哪些数字。下面的每张表格都是针对棋盘所允许的每一种票型计算出的该公式结果,并通过重放引擎自身的开奖循环两百万次进行交叉验证。
图表:每种选号数对应的每种命中数
| 选号数 | 0命中 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 75.00% | 25.00% | — | — | — | — | — | — | — | — | — |
| 2 | 55.77% | 38.46% | 5.77% | — | — | — | — | — | — | — | — |
| 3 | 41.09% | 44.03% | 13.66% | 1.21% | — | — | — | — | — | — | — |
| 4 | 29.99% | 44.42% | 21.42% | 3.94% | 0.23% | — | — | — | — | — | — |
| 5 | 21.66% | 41.65% | 27.77% | 7.93% | 0.96% | 0.038% | — | — | — | — | — |
| 6 | 15.47% | 37.13% | 32.13% | 12.69% | 2.38% | 0.20% | 0.0055% | — | — | — | — |
| 7 | 10.92% | 31.85% | 34.40% | 17.64% | 4.57% | 0.59% | 0.034% | 0.00064% | — | — | — |
| 8 | 7.61% | 26.47% | 34.74% | 22.24% | 7.48% | 1.33% | 0.12% | 0.0047% | 1708,993分之1 | — | — |
| 9 | 5.23% | 21.40% | 33.50% | 26.06% | 10.94% | 2.53% | 0.31% | 0.019% | 0.00049% | 1 in 27,343,888 | — |
| 10 | 3.54% | 16.88% | 31.07% | 28.82% | 14.71% | 4.24% | 0.68% | 0.057% | 0.0023% | 1 in 2,825,535 | 1 in 847,660,528 |
精确的超几何概率；每个格子的数值是开奖组合数除以 C(40, 10) = 847,660,528 后得到的整数计数。低于百万分之一的格子以赔率形式显示。每行加起来等于 100%。
纵向看任意一列，呈现的都是同一种模式讲了十遍。标记的号码越多，权重就越向右偏移——平均命中数更多——但每一行顶部变薄的速度都比该行变长的速度更快。对于标记七个或以上号码的人来说，命中两个是最可能的结果；标记三到六个时，命中一个最常见；而选一两个号码时，最可能的结果就是一个都没中。
值得记住的数字是平均值。40个号码中开出10个，所以每个标记号码恰好有四分之一的概率被命中，一张标记了k个号码的彩票平均命中数为 k ÷ 4，无论其他条件如何。选10个号码平均命中2.5个；选4个号码平均命中1个。所有的赔付表都是围绕这个平均值构建的，每张表都决定了如何处理落在该平均值上的彩票。
每种选号数量承诺的内容
| 选号数 | 平均命中数 | 最可能 | 未命中 | 至少一次 | 每次选中都命中 |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 0.25 | 0 (75.00%) | 75.00% | 25.00% | 1 in 4 |
| 2 | 0.50 | 0 (55.77%) | 55.77% | 44.23% | 1 in 17.3 |
| 3 | 0.75 | 1 (44.03%) | 41.09% | 58.91% | 1 比 82.3 |
| 4 | 1.00 | 1 (44.42%) | 29.99% | 70.01% | 1 比 435 |
| 5 | 1.25 | 1 (41.65%) | 21.66% | 78.34% | 1 比 2,611 |
| 6 | 1.50 | 1 (37.13%) | 15.47% | 84.53% | 1 比 18,278 |
| 7 | 1.75 | 2 (34.40%) | 10.92% | 89.08% | 1 in 155,363 |
| 8 | 2.00 | 2 (34.74%) | 7.61% | 92.39% | 1 in 1,708,993 |
| 9 | 2.25 | 2 (33.50%) | 5.23% | 94.77% | 1 in 27,343,888 |
| 10 | 2.50 | 2 (31.07%) | 3.54% | 96.46% | 847,660,528 分之 1 |
平均命中数正好是选号数 ÷ 4。“至少命中一次”是指彩票至少触及开奖结果的概率，这和能获得赔付的概率不是一回事——后者取决于下面的级别设置。
十选彩票几乎总能命中点什么：只有二十八分之一会一无所获。这让人觉得这游戏很慷慨，而赔付表正是用来纠正这种感觉的地方。十选彩票在低级别下命中数低于2、经典和中级别下低于3、高级别下低于4时都不赔付，而这些不赔付的命中数恰恰是图表显示的常见情况。命中点什么和因此获得赔付是两回事，这中间的差距正是基诺赔付表被调校的方式。
最后一列是大家都在搜索的内容。全中——所有标记的号码都被开出——在只选一个号码时是四分之一的概率，而选十个号码时则变得极其罕见。每多选一个号码，对应的赔率都会以递增的倍数变得更不利：第四个选号大约使其增加五倍，第十个选号则增加三十一倍。五中五的概率是2,611分之一；八中八是170万分之一；十中十是847,660,528分之一。开奖结果并不知道有人在追求全中，所以无论怎么选号、调整级别或把握时机，都不会改变这些数字。
全部命中，以及引擎为此支付多少
| 选号数 | 全中概率 | 公平倍数 | 经典级赔付 | 低 | 中 | 高 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 4 分之 1 | ×4 | ×3.96 | ×1.85 | ×2.75 | ×3.96 |
| 2 | 1 in 17.3 | ×17.3 | ×4.50 | ×3.80 | ×5.10 | ×17.10 |
| 3 | 1 in 82.3 | ×82.3 | ×10.40 | ×26 | ×50 | ×81.50 |
| 4 | 1 in 435 | ×435 | ×22.50 | ×90 | ×100 | ×259 |
| 5 | 1 比 2,611 | ×2,611 | ×36 | ×300 | ×390 | ×450 |
| 6 | 1 比 18,278 | ×18,278 | ×40 | ×700 | ×710 | ×710 |
| 7 | 1 比 155,363 | ×155,363 | ×60 | ×700 | ×800 | ×800 |
| 8 | 1708993分之1 | ×1,708,993 | ×70 | ×800 | ×900 | ×900 |
| 9 | 27343888分之1 | ×27,343,888 | ×85 | ×1,000 | ×1,000 | ×1,000 |
| 10 | 847,660,528分之1 | ×847,660,528 | ×100 | ×1,000 | ×1,000 | ×1,000 |
公平倍数是1÷概率——如果全中格子独自承担全部回报时应支付的数值。与实际支付倍数之间的差距并不是庄家优势；而是该桌面把这部分回报支付给了命中数较低的格子。
引擎验证位于keno/paytable.ts中的KENO_PAYTABLE，它映射了服务器实际支付所依据的TB_KENO_PROB行：每行的顶格倍数在CLASSIC模式下为3.96、4.50、10.40、22.50、36、40、60、70、85和100；在LOW模式下为1.85、3.80、26、90、300、700、700、800、1000和1000；在MEDIUM模式下为2.75、5.10、50、100、390、710、800、900、1000和1000；在HIGH模式下为3.96、17.10、81.50、259、450、710、800、900、1000和1000。演示结算会将下注金额乘以该格子的倍数，并将结果向下取整到分。
选择一个、两个或三个数字的HIGH模式，是这张表中最清晰的解读，因为在这些行中，全中格子是唯一支付的格子。此时倍数就是全部回报：×3.96相对于公平的×4是99.00%，×17.10相对于×17.33是98.65%，×81.50相对于×82.33是98.99%。这就是庄家优势，以单一奖项的折扣形式体现。
其他每一行支付全中奖的比例都只是其公平价格的一小部分，而且这个比例下降得很快。五中五在公平赔率下价值×2,611，但在HIGH模式下只支付×450，因为该行中三中和四中的格子分走了剩余的回报。到了十选十，×1,000的格子支付的价值大约只是其公平价值的八十五万分之一，它对整张彩票回报的贡献是1,000÷847,660,528——占下注金额的0.00012%。在一美元的彩票上，基诺屏幕上最大的数字价值大约只有万分之一美分。其余99%的回报都在图表称之为普通的那些格子中。
当一张彩票赢回超过本金时
| 选号数 | CLASSIC | LOW | MEDIUM | HIGH |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 25.00% | 25.00% | 25.00% | 25.00% |
| 2 | 44.23% | 44.23% | 44.23% | 5.77% |
| 3 | 14.88% | 58.91% | 14.88% | 1.21% |
| 4 | 25.59% | 25.59% | 25.59% | 4.17% |
| 5 | 36.69% | 36.69% | 36.69% | 8.93% |
| 6 | 15.28% | 47.40% | 15.28% | 2.58% |
| 7 | 22.83% | 57.23% | 22.83% | 5.20% |
| 8 | 31.17% | 65.92% | 31.17% | 8.94% |
| 9 | 39.86% | 39.86% | 39.86% | 13.80% |
| 10 | 48.51% | 79.58% | 48.51% | 19.69% |
仅统计赔率高于×1的格子。会返还部分或全部本金的格子——经典模式的两个×1.00格子（三选一命中一次、六选一命中两次）、其×0.80、×0.25和×0.47格子，以及低风险模式的×0.70和中风险模式一选零中的×0.40——均被排除在外。所有数值均为上表中的命中次数概率。
| 选择数 | 经典 | 低风险 | 中风险 | 高风险 |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 99.00% | 98.75% | 98.75% | 99.00% |
| 2 | 99.04% | 98.85% | 98.65% | 98.65% |
| 3 | 99.02% | 98.87% | 98.99% | 98.99% |
| 4 | 98.96% | 98.92% | 98.78% | 98.91% |
| 5 | 98.99% | 98.90% | 98.94% | 98.89% |
| 6 | 98.97% | 99.01% | 98.83% | 99.00% |
| 7 | 98.98% | 98.94% | 98.96% | 98.96% |
| 8 | 99.02% | 99.00% | 98.92% | 98.96% |
| 9 | 98.98% | 99.07% | 98.94% | 98.96% |
| 10 | 99.04% | 98.76% | 98.97% | 99.01% |
KENO_PAYTABLE 中的每个数值乘以其命中概率并求和。共四十张表，全部落在0.42个百分点之内：最低为98.65%（中档和高档的两选一），最高为99.07%（低档的九选一）。
这两张表合在一起就是全部内容。第一张表的变化幅度达六十五倍——低档十选一中四张彩票里有五张能赢回本金，高档三选一则是八十三分之一——而第二张表几乎没什么变化。在keno界面上你能选择的任何东西，对一张彩票价值的影响都不会超过半个百分点。选择所改变的是这个价值到来的方式：是一连串的小额回报，还是一次罕见的大额回报。keno风险等级改变了什么详细拆解了这种权衡；上面的图表是所有这些表格所依据的固定输入。
每张彩票都是从同样的847,660,528种组合中重新抽取的。一个小时没开出的号码，和连续开出三次的号码概率完全相同，而一张刚好差一个号就中奖的彩票，下一次也不会因此更接近中奖——参见赌徒谬误。演示抽奖会在球落下之前提交哈希链和盐值，并在之后公开，因此任何一次抽奖都可以通过彩票重新验证。
遊Keno，每次抽奖均可验证
四十个号码，开出十个——每种选号数量的赔率表在你下注前就已显示在屏幕上Keno →
常见问题
在keno中命中全部10个号码的几率是多少？
在40个号码、开出10个球的棋盘上，几率是847,660,528分之一——这是C(40, 10)，即不同抽取组合的数量，而其中恰好只有一种与十选一彩票匹配。在本引擎中，低档、中档和高档该格赔率为×1,000，经典档为×100。
在keno中5中5的几率是多少？
2,611分之一（0.038%）。五中四的概率为0.96%，五中三为7.93%。本引擎对五中五的赔付为：经典档×36，低档×300，中档×390，高档×450。
我应该在keno中选多少个号码？
在所有选号数量和档位中，返还率都在半个百分点以内（98.65%到99.07%），因此没有哪种选号数量更划算。选号越多，平均命中数也越多——恰好是所选号码数的四分之一——但赔付表也要求更多命中数才会付钱。选号越少，彩票就越简单，要么中要么不中。
我平均能命中多少个号码？
你所选号码的四分之一，因为40个号码中会开出10个。十选一平均命中2.5个，恰好命中两个的概率为31.07%；四选一平均命中1个。全部落空的概率从一选一的75.00%，降到十选一的3.54%。
每局都选相同的号码会提高我的几率吗？
不会。每次十球抽取的概率都相同，且与上一次独立无关，所以没有哪组号码是“该出”或“冷门”的。任何命中数的几率只取决于你选了多少个号码，而这些几率就是本文中的图表。
×1,000的keno奖金值得追逐吗？
在十选票中，这占投注额的0.00012%——即×1,000的倍数乘以847,660,528分之一的概率。该票99%的返还几乎全部发生在普通命中数上，而在High模式下，低于四次命中完全不赔付。
来源与参考资料
- Betkyo引擎来源：keno/kenoGame.tsx中的BALLS = 40和MAX_PICKS = 10；_shared/demoLocal.ts中的kenoDraws()和demoKenoBet()（从四十个号码池中不放回地抽取十个球，根据开奖集合计算命中数，按选号数和命中数查找倍数，向下取整到分）
- Betkyo引擎来源：keno/paytable.ts中的KENO_PAYTABLE——全部四十张赔付表，与服务器实际赔付所依据的TB_KENO_PROB行完全一致
- 为本文撰写的精确计算：针对每种选号数和命中数的超几何分布C(k, h) × C(40 − k, 10 − h) ÷ C(40, 10)，由这些数值得出各表的返还率和超过投注额的概率，并通过两百万张票的引擎交换池抽样回放作为交叉验证
本文涉及的游戏