一行算术
Limbo 没有棋盘、没有卡牌、也没有轮盘。你输入一个目标倍数，引擎抽取一个数字，如果该数字至少达到你的目标，你就赢了——这种情况下你会获得你的目标倍数乘以你的赌注。这就是整个游戏，这使得 Limbo 成为最容易定价的赌场游戏，因为这个数字来自一个带有一个随机输入的公式。
引擎已验证_shared/rng.ts 中的 curve100()：结果以百分位表示是 floor((0.99 ÷ (1 − u)) × 100)，限制在 100 到 1,000,000 的范围内，其中 u 是从轮次 HMAC 读取的 [0, 1) 中的均匀数字——摘要的前八个字节为 hi ÷ 2³² + lo ÷ 2⁶⁴ (u64())。_shared/demoLocal.ts 中的 demoLimboBet() 在光标 0 处抽取 u，设置 win = outcome100 ≥ target100，并支付 stake × target100 ÷ 100 向下舍入到美分。limboGame.tsx 接受从 101 到 1,000,000 百分位的目标 (×1.01 到 ×10,000.00)，并将赢率显示为 99 ÷ target。
从内向外读这个公式。随机数 u 均匀分布在 0 到 1 之间。用 1 − u 除以 0.99 将那个均匀分布转变成一条曲线：u 接近 0 时得到接近 ×0.99 的数字，u 接近 1 时得到趋向无穷大的数字。×100 和 floor 将其转换成两位小数的数字，clamp 将其限制在 ×1.00 和 ×10,000.00 之间。0.99 是庄家优势，这是优势唯一存在的地方。
每个目标的赢率
你在目标 T 处赢，当 floor(99 ÷ (1 − u)) 至少为 T，以百分位表示。因为 T 是百分位的整数，floor 对该比较没有影响：199.7 的值向下舍入到 199 并错过 200 的目标，完全就像 199.7 本身一样。所以条件就是 99 ÷ (1 − u) ≥ T，重新整理为 u ≥ 1 − 99 ÷ T。均匀数字落在那里的概率是 99 ÷ T，这就是全部答案。
| 目标 | 赢率 | 每轮赢一次 | 返还 | 庄家优势 | 每单位赌注的波动 |
|---|---|---|---|---|---|
| ×1.01 | 98.02% | 1.02 轮 | 99.00% | 1.00% | 0.14 |
| ×1.10 | 90.00% | 1.11 | 99.00% | 1.00% | 0.33 |
| ×1.20 | 82.50% | 1.21 | 99.00% | 1.00% | 0.46 |
| ×1.50 | 66.00% | 1.52 | 99.00% | 1.00% | 0.71 |
| ×1.98 | 50.00% | 2.00 | 99.00% | 1.00% | 0.99 |
| ×2.00 | 49.50% | 2.02 | 99.00% | 1.00% | 1.00 |
| ×3.00 | 33.00% | 3.03 | 99.00% | 1.00% | 1.41 |
| ×5.00 | 19.80% | 5.05 | 99.00% | 1.00% | 1.99 |
| ×10 | 9.90% | 10.1 | 99.00% | 1.00% | 2.99 |
| ×20 | 4.95% | 20.2 | 99.00% | 1.00% | 4.34 |
| ×50 | 1.98% | 50.5 | 99.00% | 1.00% | 6.97 |
| ×100 | 0.99% | 101 | 99.00% | 1.00% | 9.90 |
| ×1,000 | 0.099% | 1,010 | 99.00% | 1.00% | 31.4 |
| ×10,000 | 0.0099% | 10,101 | 99.00% | 1.00% | 99.5 |
赢率 = 99 ÷ 目标，精确。回报 = 目标 × 赢率 = 每一行都是 0.99。波动是一轮结果的标准差除以单位赌注，√(0.99 × 目标 − 0.9801)；这是增长的数字，不是价格。
中间两列是表格的关键，它们不动。目标既是障碍又是赔率，所以提高它会按照提高奖金的确切比例降低赢率，乘积保持在 0.99。坐在 ×1.10 的玩家和在 ×1,000 射击的玩家为他们赌注的每个单位支付相同的 1%；其中一个在稳定的细流中支付，另一个在长期干旱中被意外之财打破。最后一列衡量差异。在 ×2 时，一轮结果波动大约一个赌注；在 ×1,000 时，是三十一个赌注；在上限，是一百个赌注。
有一行值得再看一遍。在 ×1.98 时，赢率恰好是 50%，这使得 ×1.98 是中位数结果：所有轮次中一半以上，一半以下。整数 ×2.00 是一个 49.50% 的公平硬币翻转，有 0.5 点的劣势，那半个点是 1% 的优势在该目标处的位置。每其他目标以相同的方式隐藏相同的优势——公平游戏将为 49.5% 的几率支付 ×2.0202，而引擎支付 ×2.
这是limbo游戏与二位小数倍数骰子游戏不同的部分。在骰子游戏中，支付额从选定的概率导出并四舍五入，四舍五入在某些设置下可能花费玩家几个百分点。在limbo中，玩家直接以百分比命名支付额，公式将抽取的数字与该数字进行比较；没有第二次四舍五入的成本。公式中的floor只决定屏幕上显示哪两位小数。验证者文章解释了为什么在检查一轮时必须精确复制这个单一的floor。
当没有人瞄准时数字落在的位置
无论任何目标如何，相同的公式描述抽取的数字本身。它至少达到×x的概率是0.99÷x，对于任何×1.01及以上的x都适用，这给出了屏幕显示内容的整个分布。
| 范围 | 轮次占比 | 关于 |
|---|---|---|
| ×1.00（低于每个目标） | 1.98% | 50.5选1 |
| ×1.01至×1.49 | 32.02% | 3.1选1 |
| ×1.50至×1.99 | 16.50% | 6.1选1 |
| ×2.00至×2.99 | 16.50% | 6.1选1 |
| ×3.00至×4.99 | 13.20% | 1 in 7.6 |
| ×5.00 to ×9.99 | 9.90% | 1 in 10.1 |
| ×10 to ×99.99 | 8.91% | 1 in 11.2 |
| ×100 to ×999.99 | 0.891% | 1 in 112 |
| ×1,000 to ×9,999.99 | 0.0891% | 1 in 1,122 |
| ×10,000.00 (the cap) | 0.0099% | 1 in 10,101 |
每一行是 0.99 ÷ (下界) 减去 0.99 ÷ (上界)。第一行是 99 ÷ (1 − u) 低于 101 百分之一的概率，u < 2 ÷ 101。最后一行是所有被限制到 1,000,000 百分之一的抽取。行数总和为 100%。
这些行中的两行解释了 limbo 会话感受的大部分。大约五十轮中有一轮显示 ×1.00，这个数字没有任何目标能超过：公式中的 0.99 意味着曲线从低于 ×1.01 开始，最低 1.98% 的抽取永远无法超过它。大约十一轮中有一轮显示 ×10 或更高，这足够频繁以至于一小时内可以看到多次，并使高目标看起来可以达到。它确实可以达到——每 101 轮中有一轮会达到 ×100——但表格说明了频率，
你没有下注的轮次是从同样的分布中抽取的，这就是为什么一屏幕最近的结果对下一个没有任何信息。每一轮都是一个新 nonce 的新 HMAC；历史中的 ×500 使下一个 ×500 的可能性恰好和之前一样，0.198%。这是赌徒谬误的最纯粹形式，因为这里的独立性不是统计假设而是哈希的属性。
追逐大倍数的代价
由于优势在任何地方都是相同的，选择目标就是选择方差，而方差有一个容易说明的代价：你应该期望等待多少轮，以及长期等待的可能性有多大。每轮赢的概率为 p，在 N 轮中至少赢一次的概率是 1 − (1 − p)ᴺ。
| 目标 | 轮数 | 至少赢一次 | 全不赢 |
|---|---|---|---|
| ×2 | 10 | 99.89% | 0.11% |
| ×10 | 20 | 87.57% | 12.43% |
| ×10 | 50 | 99.46% | 0.54% |
| ×100 | 100 | 63.03% | 36.97% |
| ×100 | 300 | 94.95% | 5.05% |
| ×1,000 | 1,000 | 62.86% | 37.14% |
| ×1,000 | 3,000 | 94.88% | 5.12% |
1 − (1 − 99 ÷ T)ᴺ。这个模式在每个倍数级别重复：押注目标自身的轮数（×100时100轮，×1,000时1,000轮）大约给出63%的一次命中概率，三倍的轮数大约给出95%。
下注后，算术变得冷酷。在×100下一百个一单位的赌注需要花费100单位下注，平均回报99——又是那个1%——但平均值由63%的概率获得大约100和37%的概率获得零组成。在那一百轮中确实命中一次的玩家获利不多；命中两次的玩家赚了很多，命中零次的玩家则亏了整个一百。目标的任何变化都不会改变你每单位支付的1%。它改变的是结果在玩家之间的分布方式。
相同陷阱的低目标版本是倍增法：×2下注，每次亏损后翻倍，每次赢收一单位。×2的赢率是49.50%，连续十次亏损的概率是0.11%，第十一次下注是1,024单位。倍增法，定价在轮盘赌上计算这个；limbo数字在它的十分之一以内。破产风险给出任何固定赌注计划对抗1%优势能持续多长时间的通用公式。
演示结算的一个实际细节：赔付是赌注×目标向下取整到分，所以0.37的赌注在×1.23时支付0.45，而不是0.4551。在两位小数目标的整数赌注上，乘积已经精确，没有损失；在小的奇数赌注上，分的一部分会丢失。真实货币轮次按该币种自身的精度结算。
遊Limbo，每一轮都可验证
输入×1.01到×10,000的目标——赢率是99÷目标，在你下注前显示Limbo →
自己检查一轮游戏
- 在你玩游戏之前，公平面板会显示服务器种子的SHA-256指纹。之后轮换你的种子对以显示种子本身并确认指纹。
- 使用服务器种子作为密钥和
- 取摘要的前八个字节作为hi ÷ 2³² + lo ÷ 2⁶⁴来获得u，然后floor(0.99 ÷ (1 − u) × 100)，固定在100–1,000,000。这是以百分之一为单位的结果，应与该轮游戏的最后一位数字相匹配。
开源验证器用一个命令完成这三个步骤，`betkyo-verify limbo <serverSeed> <clientSeed> <nonce>`，并以百分之一为单位打印结果。如果它与你获得报酬的轮游戏相匹配，该数字在你输入目标之前就已确定——这就是承诺所证明的，也是它唯一证明的；哈希承诺证明了什么清楚地划出了这条界线。
常见问题
在limbo中赢得的概率是多少？
在这个引擎上，99除以你的目标：×2时为49.50%，×10时为9.90%，×100时为0.99%，×10,000上限时为0.0099%（十分之一，10,101）。该公式是准确的，因为抽取的数字是floor(99 ÷ (1 − u))，目标是百分之一的整数。
limbo的庄家优势是什么？
在每个目标上都是1.00%。赢的概率是99 ÷目标，报酬是目标，所以每次下注平均返回赌注的99.00%。没有一个目标倍数比其他的更有价值；更高的目标只会使结果波动更大。
limbo的最佳目标倍数是多少？
在预期中没有更好的目标——它们都以每单位赌注1%的成本。像×1.10或×1.50这样的低目标经常支付小额；高目标很少支付且支付额大。根据你想要多少方差来选择，而不是根据价值，并记住在×100时，你在100轮中完全没有赢的概率为37%。
limbo在1.00时多久崩溃一次？
约1.98%的轮次，大约五十分之一。公式从0.99 ÷ (1 − u)开始，所以最低的1.98%的抽取会产生低于×1.01的数字，没有任何目标能在这些轮次中赢。
limbo中的×2是50/50的赌注吗？
不完全是：49.50%。精确的50%点是×1.98，这是中位数结果。×1.98和×2.00之间的半点差距是该目标处的庄家优势。
公式中的四舍五入是否给玩家带来代价？
不。floor(99 ÷ (1 − u))中的floor只决定显示的两个小数点；因为目标是百分之一的整数，floor(x) ≥ T完全等同于x ≥ T，所以赢的概率是99 ÷目标，没有任何四舍五入损失。演示报酬被四舍五入到分，这只在小的奇数赌注上很重要。
资源和参考
- Betkyo引擎源代码：_shared/rng.ts中的curve100()和u64()（结果= floor(0.99 ÷ (1 − u) × 100)固定在100–1,000,000；u来自前八个摘要字节）；_shared/demoLocal.ts中的demoLimboBet()（游标0，赢=outcome100 ≥ target100，报酬四舍五入到分）；limbo/limboGame.tsx中的目标范围和99 ÷目标赢赔率显示
- 本文的精确计算：对每个目标的赢取概率 99 ÷ T，结果分布 0.99 ÷ x、单轮标准差和至少一次赢取的概率；通过将 400,000 轮引擎的 HMAC 流重放通过 curve100() 进行交叉验证（×10：9.86% 模拟 vs 9.90% 精确；低于 ×1.01：1.97% vs 1.98%）
- Betkyo provably-fair 验证工具（GitHub，MIT）：limbo 命令从 serverSeed、clientSeed 和 nonce 重现结果
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